Question

Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:a) cos x.tg x. cossec x=1 b) tg²x. cossec² x =1 tg² x c) (tgx + 1) . 1 - tg x) = 2 - sec²x  d) cossec²x . tg x = cotg x . sec²x por favor!

Answer 1

Olá!

Vamos relembrar parte da trigonometria :
Temos :
sen²x + cos² x = 1  -- Relação Fundamental da Trigonometria
senx
cosx

tagx  =  senx / cosx
cotgx = ( 1 / tagx ) =  cosx / senx
cossecx = 1 / senx
secx = 1 / cosx

1 + tag²x =+
=> 1 + ( sen²x / cos²x) =>
=: ( 1 . cos²x  + sen²x ) / cos²x  => (sen²x + cos²x = 1 )
=> 1 / cos²x = cossec²x

Vamos ver se entendi direito:

a ) IDENTIDADE  CONFIRMADA:
cosx . tagx . cossecx=>
=> cosx . ( senx / cosx ) . ( 1 / senx) =>
=> simplificando denominadores com numeradores o resultado é 1.

b) IDENTIDADE  NÃO  CONFIRMADA:
tag²x . cossec²x = 1 . tg²x =>
=> ( sen²x/ cos²x ). ( 1 / sen²x ) = sen²x / cos²x =>
simplificando teremos:
=> 1 / cos²x  = sen²x / cos²x  ( o que é falso!)

***A equação trigonométrica, não seria assim:
 tag²x  . cossec²x = 1. sec²x =>
=> ( sen²x / cos²x ) . ( 1 / sen²x ) = 1. sec²x  =>
=> simplificando numeradores com denominadores =>
=> 1 / cos²x = 1. sec²x  ( visto que 1 / cos²x = sec²x ) =>
=> 1. sec²x = 1. sec²x

c ) IDENTIDADE  NÃO  CONFIRMADA:
( tagx + 1 ) . ( 1 - tagx ) = 2 sec²x  =>
=> ( 1 - tag²x ) =  2 sec²x =>
=> ( 1 - cossec²x )  = 2 sec²x =>
=> ( 1 - sen²x / cos²x ) = 2 sec²x =>
=> ( cos²x -  sen²x ) / cos²x = 2 sec²x  =>
=> ( cos²x - sen²x ) . sec²x  = 2 sec²x

d )  IDENTIDADE  NÃO  CONFIRMADA:
cossec²x . tagx = cotgx . sec²x =>
=> ( 1 / sen²x ) . ( senx / cosx )= ( cotx ) . ( sec²x ) =>
simplificando numerador pelo denominador:
=> ( senx / cosx ) = ( cotx ) ( sec²x) =>
=> cotx = cotx . sec²x
Bons estudos!