Question

Demonstre as identidades seguintes:
a) cossec^ 2x+tg^2 x=sec^2 x+cotg^ 2
b)secx-tgx= 1/secx+tgx

Answer 1

a) cossec^ 2x+tg^2 x=sec^2 x+cotg^ 2x
        
       1/sen²x + sen²x/cos²x = 1/cos²x + cos²x/sen²x      (cos²x + sen²x = 1)

1/(1-cos²x) + (1-cos²x)/cos²x = 1/(cos²x) + cos²x/(1-cos²x) ----- ( (cos²x) = y)
        
             1/(1 - y) + (1 - y)/y = 1/y + y/(1-y)
 
             1/(1 - y) + 1/y - 1 = 1/y + y/(1-y)
                 
             1/(1-y) - 1 =  + y/(1-y)
        
             1-(1 - y)/(1 - y) =  + y/(1-y)
                         
                 1-(1 - y) = + y

                 1 - 1  + y = + y 
                        y = y 
            cos²x = cos²x (identidade verificada)


b)secx-tgx= 1/secx+tgx 

     1/cosx - senx/cosx = 1/(1/cosx) + sen x/cosx
        1/cosx - 2(senx/cosx) = cosx
                - 2(senx/cosx) = cosx - 1/cosx
               - 2(senx/cosx) = (cos²x - 1)/cosx
                 -2senx = (cos²x - 1)
                 -sen²x = cos²-1 
                  sen²x = 1 - cos²x     (sen²x + cos²x = 1)
                 (Identidade Verificada)