Question

Demonstre a seguinte identidade:

$cos^2(2x)-sen^2(2x)\equiv cos(4x)$

*Sem utilizar as fórmulas de multiplicação.

Answer 1

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•   Lembremos de uma das fórmulas de Werner:

    (cosseno da soma de dois arcos)

    $\mathsf{cos(a+b)=cos\,a\,cos\,b-\,sen\,a\,sen\,b}$

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 •   Solução:

Veja que

$\mathsf{cos^2(2x)-sen^2(2x)}\\\\ =\mathsf{cos(2x)cos(2x)-sen(2x)sen(2x)}\\\\ =\mathsf{cos(2x+2x)}\\\\ =\mathsf{cos(4x)}\qquad\quad\checkmark$


e isto é válido para qualquer $\mathsf{x}$ real.

É só enxergar a expressão como sendo a expansão do cosseno da soma de dois arcos, onde nesse caso particular, ambos os arcos valem $\mathsf{2x}.$


Bons estudos! :-)


Tags:   identidade trigonométrica seno cosseno da soma werner sen sin cos trigonometria