Question

Demonstre a relação de Mayer.

Answer 1

Primeiramente, imagine um aquecimento isobárico. Nele, é evidente que haverá uma realização de trabalho, visto que o volume do gás deve aumentar para compensar o aumento de temperatura, e assim, manter constante a pressão.
Dessa forma, é válida a relação:

Qp =  τp + ΔUp

Sendo "Qp" a quantidade de calor fornecida ao gás, "τp" o trabalho realizado pelo gás e "ΔUp" a variação da energia interna do gás.
Imaginemos agora um outro aquecimento com a mesma variação de temperatura, mas a volume constante:

ΔUv = Qv
Qv = Qp - τp
τp = Qp - Qv (i)
Isso mostra que o calor específico de um gás é maior a pressão constante.

Vamos agora utilizar da equação fundamental da calorimetria:
Qp = m.cp.ΔT
Qv = m.cv.ΔT

Substituindo essas equações em (i):

τp = m.cp.ΔT - m.cv.ΔT

Sabemos que o trabalho realizado em uma transformação isobárica é dado por:
τp = p.ΔV = n.R.ΔT

Dessa forma:

(m/M).R.ΔT = m.cp.ΔT - m.cv.ΔT

Por fim, realizando as devidas simplificações algébricas, chegamos a tão conhecida Relação de Mayer:

$\frac{R}{M} =cp - cv$

E que:
R = Constante universal dos gases perfeitos
M = massa molar do gás
cp = calor específico a pressão constante
cv = calor específico a volume constante.

Espero que tenha entendido, qualquer dúvida pode perguntar. Um abraço e bons estudos!