Matemática, perguntado por fransys, 1 ano atrás

Demonstre a proposição condicional:
p → q : Se x² é ímpar, então x é ímpar.
Obs.: demonstração com base em lógica proposicional, não em álgebra pura.

Soluções para a tarefa

Respondido por webfelipemaia

p → q tem contrapositiva ¬q → ¬p que equivale a "Se x é par, então x² é par".

De fato, supondo que x seja par, ou seja, x é da forma 2k, com k ∈ Z. Como x² = 2.2.k², segue-se que x² é par.

Logo, a contrapositiva é verdadeira e, consequentemente, a condicional p → q também é verdadeira.

Respondido por solkarped

✅ Após ter finalizado a demonstração, concluímos por "contrapositiva" que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf x^{2}\:impar \Longrightarrow x\:impar \Longleftrightarrow x\:par \Longrightarrow x^{2}\:par\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}p \to q:Se\: x^{2}\:\acute{e}\:impar, ent\tilde{a}o\:x\:\acute{e}\:impar \end{gathered}$}$

Deixando evidente a hipótese e a tese de acordo com a forma "se/então", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\underbrace{Se\:x^{2}\:\acute{e}\:impar}_{\bf Hip\acute{o}tese = p},\:\underbrace{ent\tilde{a}o\:x\:\acute{e}\:impar}_{\bf Tese = q} \end{gathered}$}$

Para provarmos isto devemos utilizar a técnica de demonstração por "contrapositiva". Desta forma, devemos provar a seguinte equivalência entre as respectivas proposições:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}p\Longrightarrow q\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\sim q\Longrightarrow \sim p \end{gathered}$}$

Se a direta da proposição diz:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}p\Longrightarrow q \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2}\:impar\Longrightarrow x\:impar \end{gathered}$}$

Então, sua contrapositiva diz:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sim q\Longrightarrow \sim p\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\:n\tilde{a}o\:impar \Longrightarrow x^{2}\:n\tilde{a}o\:impar \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x\:par \Longrightarrow x^{2}\:par\end{gathered}$}$

Se "x" é um número par, então podemos escreve-lo como:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x = 2k,\:\:\:\forall k\in\mathbb{Z} \end{gathered}$}$

Desta forma podemos montar o seguinte quadrado de "x", que é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2} = (2k)^{2} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} = 4k^{2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2} = \underbrace{2(2k^{2})}_{\bf Par} \end{gathered}$}$

Como o segundo membro da equação "II" é igual ao dobro de um número, então o quadrado de "x" é um número par. Desta forma, provamos que a contrapositiva da proposição inicial, de fato é verdadeira, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x\:par \Longrightarrow x^{2}\:par\end{gathered}$}$

Sendo a contrapositiva verdadeira, logo a sua direta também é verdadeira, isto é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2}\:impar \Longrightarrow x\:impar \end{gathered}$}$

✅ Logo, podemos afirmar que a direta é equivalente à sua contrapositiva, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2}\:impar \Longrightarrow x\:impar \Longleftrightarrow x\:par \Longrightarrow x^{2}\:par \end{gathered}$}$