Question

Demonstre a identidade senx/cscx-cotx=1+cosx, válida para todo x em que as funções envolvidas estão definidas.

Answer 1

Vamos lembrar das identidades trigonométricas...
Cossecante de X=1/senX
Cotangente de X= 1/tag X ou CosX/SenX
Sen^2X= 1/2 . (1-2CosX)
Cos X. Senx =  1/2 Sen 2x

Vou desmembrar a primeira parte para desenvolvimento (senx/ cosecx) 
(SenX / 1/senx)=Sen^2X   (inverte sinal)

1/2 . (1-2 cosx)=1/2 -2 cosx/2

 (1 - 2 cosX)/2 - CosX/Senx= 1 + Cos X
Tiro MMC de 2, senx e 1 para transformar tudo na mesma base resultando em 2 senx
[(1-2cosx) . senx] /2 senx - 2 cosX / 2 senx = [(1 + Cos X) . 2senx] /2senx

como todos os itens tem a mesma base é so cortar.

(1-2cosx) . senx - 2 cosx = (1+cosx) 2 senx
 senx - 2 cos x . senx - 2 cos x = 2 senx + 2 cos x .sen x
 
-4 cosx . sen x = senx + 2 cos x
-4 . (1/2 . sen 2x)= senx + 2 cosx
-2 sen 2x = senx + 2cosx
2 sen 2x = - sen x - 2 cos x
Sen 2x= (- Senx - 2 cosx) /2

RESPOSTA: Sen 2X= - (Sen X + 2 Cos X) / 2

Espero ter ajudado, qualquer coisa só perguntar!!!
Bons estudos!!!