Question

Demonstre a fórmula do volume do cone de altura h e raio da base R
V_cone=( πR²h)/3
Utilizando integrais triplas e coordenadas cilíndricas.
Suponha o círculo da base contido no planos xy e centralizado em (0,0,0) e utilize coordenadas cilíndricas (x= rcos0, y=rsen0 z=z) de maneira que:

Answer 1

Olá!

Para calcular o volume de um sólido, a forma mais convencional é multiplicar a área da base pela altura. Normalmente utiliza-se integral dupla para calcular volume, mas podemos utilizar integral tripla para calcular o mesmo, para isso devemos colocar o valor 1 dentro da integral:

$\int \:\int \:\int \:1.dV$

$\int \:\int \:\int \:1.dxdydz$

Sabemos que a base de um cone é uma circunferência. A fórmula de uma circunferência é:

x² + y² = R²

Na forma polar, a integral ficará desse jeito:

$r\int _0^{2\pi }\:\int _0^r\int _r^hdz.dr.d\theta$

Resolvendo essa integral aplicando os limetes corretos de r,$\theta$ e z, obtemos o volume do cone.

Espero ter ajudado!