Question

Demonstre a formula do volume do cilindro de altura h e raio de base R utilizando integrais triplas e coordenadas cilindricas.

Answer 1

Olá.

Integrais triplas não nos dá um resultado que venha a ter interpretação no nosso mundo real assim como as integrais simples representam a área da função e as integrais duplas representam o volume da função.

Porém podemos usar um artifício matemático que conseguimos calcular o volume usando integral tripla, basta igualar a função que será integrada a 1, ou seja, a nossa função será uma constante de valor 1.

Vejamos:

$\int\limits^h_0 \int\limits^\alpha _0\int\limits^r_0{1.r} dxd\alpha dh$

Este ''r'' (raio) aparece dentro da função pois estamos integrando usando coordenadas cilíndricas, trata-se de uma propriedade da mesma.

Temos como coordenadas ''r'' variando de 0 a r e o angulo alpha variando de 0 a 2pi, pois queremos o volume do cilindro completo. ALém da variável ''h'', que representa a altura no eixo z.

Resolvendo:

$V=\int\limits^h_0 \int\limits^{2\pi} _0\int\limits^r_0{1.r} drd\alpha dh\\ \\V=\int\limits^h_0 \int\limits^{2\pi} _0{\frac{r^{2}}{2}} d\alpha dh\\ \\V=\int\limits^h_0{2\pi\frac{r^{2}}{2}} dh=\int\limits^h_0{\pi.r^{2}} dh\\ \\ V=\pi.r^{2}.h$