Question

Demonstre a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Answer 1

Vamos usar uma pa de razao 1, a1=1 e n=100 para demonstrar:

    1+  2+  3+  4+  5...=S (S de soma)
100+99+98+97+96...=S
----------------------------------------
101+101+101+101+101...=2S
(101)100=2S
S=((101)100)/2
Entao temos que:
S=(a1+an)n/2

Answer 2

Primeiramente devemos notar que a soma de dois termos equidistantes dos extremos são iguais.
Ex: Na PA (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...)
Perceba que a1 + a7 = a2 + a6 = a3 + a5 ou seja:
3 + 27 = 7 + 23 = 11 + 19, ...
$S _{n} =a _{1}+a _{2} +a _{3} +...+a _{n-2} +a _{n-1} +a _{n} \\ ou \\ S _{n} =a _{n}+a _{n-1}+a _{n-2} +...+a _{3} + a_{2} +a _{1} \\ \\ 2S _{n}=(a _{1} +a _{n})n \\ \\ S _{n} = \frac{(a _{1}+a _{n})n }{2}$