Question

Demonstre a célebre equação proposta por Albert Einstein em sua Teoria da Relatividade :


$\sf{E=mc^2}$

Answer 1

• A equação de Einstein será dada resolvendo a última integral. ( não deu por causa do limite. ).

Antes de chegarmos na incrível equação de Einstein, iremos brincar um pouquinho com a mecânica clássica. Lembrando que $\large\displaystyle\begin{gathered} W=\int \vec{F}d\vec{x}\end{gathered}$, dado um plano cartesiano, imagine uma particula no ponto (0,0) e ela vai com uma velocidade $\large\displaystyle\begin{gathered}\vec{V} \end{gathered}$ até o ponto x. Logo, o trabalho dessa particula será dado por:

 $\large\displaystyle\begin{gathered} W=\int_0^x \vec{F}d\vec{x}\Rightarrow \int_0^p vmdv\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \int_0^p vmdv\Rightarrow m\cdot \int^v_0 v dv\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} m\cdot \int^v_0 v dv=\left.\frac{m\cdot v^2}{2}\right|_0^v\end{gathered}$

Então, chegamos na famosa fórmula da energia cinética. Poderiamos ter utilizado a segunda lei de Newton. Mas optei pelo trabalho. Agora, para de fato provarmos a equação de Einstein, iremos brincar com a mecânica moderna. Para começar a brincadeira, devemos lembrar que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases}P=mv\\ m=m_0\gamma v\\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} }\end{cases}\end{gathered} }$

• Fincando então:

$\large\displaystyle\begin{gathered} P=m_0\gamma v \Rightarrow \frac{dp}{dv}=\frac{d(m_0\gamma v)}{dv}\end{gathered}$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{dp}{dv} = m_0\cdot \frac{d}{dv} ( \gamma v) \Rightarrow m_0 \cdot \frac{d}{dv}\left[v\left( 1-\frac{v^2}{x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} \right]\end{gathered} }$

• Obs: Cara, temos que derivar aquela coisa ali, mas eu vou fazer diretão por alguns motivos. Um deles é o limite de caracteres.

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{dp}{dv} = m_0 \cdot \left[ \left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-\frac{1}{2}} + \frac{v^2}{c^2} \left( 1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\right]\end{gathered} }$

• Obs²: Pelo menos motivo eu irei pular a resolução.

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{dp}{dv} = m_0 \left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-\frac{1}{2}}\cdot \left[ \frac{c^2}{c^2-v^2}\right]\cdot \frac{c^2}{c^2}\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{dp}{dv} = m_0 \left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-\frac{1}{2}}\cdot \left[ 1-\frac{v^2}{c^2}\right]^{-1}\end{gathered} }$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{dp}{dv} = m_0 \left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-\frac{3}{2}}\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} W=\int_0^x \frac{dp}{dt} dx = m_0\cdot \int^v_0 v\left( 1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}} dv \end{gathered} }$

Lembrando que W=E-E₀. Agora é só substituir e finalmente estará provado a incrível equação de Einstein.

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} W= m_0\cdot \int^v_0 v\left( 1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}} dv \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\boxed{\green{E-E_0= m_0\cdot \int^v_0 v\left( 1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}} dv}}}\ c.q.d\checkmark\end{gathered} }$

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