Question

Demonstrar que sendo u,v,w vetores dois a dois ortogonais então a) |u+v|^2=|u^2+|v|^2 b)|u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w |^2

Answer 1

Olá

Lembrando que  a norma de um vetor é definida como $|u| = \sqrt{u.u}$.

Então, $|u|^2 = u.u$

Lembrando também que dois vetores são ortogonais entre si quando u.v = 0.

Logo, 

a) $|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2$

$|u+v|^2=(u+v)(u+v)=u.u + u.v + v.u + v.v = u.u + v.v$ (*)

$|u|^2 + |v|^2 = u.u + v.v$ (**)

Observe que (*) é igual a (**)

Portanto, $|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2$

b) $|u+v+w|^2 = |u|^2+|v|^2+|w|^2$

$|u+v+w|^2 = (u+v+w)(u+v+w) =$$u.u+u.v+u.w+v.u+v.v+v.w+w.u+w.v+w.w = u.u+v.v+w.w$ (*)

$|u|^2+|v|^2+|w|^2 = u.u+v.v+w.w$ (**)

Observe que (*) e (**) são iguais.

Logo, $|u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2$