Question

demonstrar que (sen (2a) + sen (2b) )/ (cos (2a) + cos (2b)) = tg (a+b)

Answer 1

Antes de tudo, venho dizer que nesta resolução usaremos as três identidades trigonométricas abaixo:

$\mathsf{sen\big(\alpha\big)+sen\big(\beta\big)=2sen\!\left(\,\!\!\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\!cos\!\left(\,\,\!\!\!\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{cos\big(\alpha\big)+cos\big(\beta\big)=2cos\!\left(\!\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\!cos\!\left(\!\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{tg\big(\theta\big)=\dfrac{sen\big(\theta\big)}{cos\big(\theta\big)}\,,\forall\,\theta\,\in\,\mathbb{R}\setminus\bigg\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\bigg\}}$

, sendo as duas primeiras válidas para todo α e β reais.

O exercício solicita a demonstração da seguinte identidade trigonométrica:

$\mathsf{\dfrac{sen\big(2a\big)+sen\big(2b\big)}{cos\big(2a\big)+cos\big(2b\big)}=tg\big(a+b\big)\qquad(i)}$

Para assegurar a igualdade explícita acima, é imprescindível analisar os Domínios de Validade das expressões trigonométricas situadas em ambos os membros da igualdade (i), e com isso determinar o conjunto constituído por todos os valores reais de a e b que garantem a existência da fração localizada no lado esquerdo de sua igualdade e também da função trigonométrica bivariada tg(a + b). O termo "identidade trigonométrica" só é válido para a e b cumprindo todas as condições impostas anteriormente (interseção dos domínios). A primeira condição essencial para a existência da equação (i) é dada por:

$\mathsf{\qquad\ \ \, \exists\ \dfrac{sen\big(2a\big)+sen\big(2b\big)}{cos\big(2a\big)+cos\big(2b\big)}}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad cos\big(2a\big)+cos\big(2b\big)\neq 0}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 2cos\!\left(\!\dfrac{2a+2b}{2}\!\right)\!\!cos\!\left(\!\dfrac{2a-2b}{2}\!\right)\neq 0}$

$\mathsf{\iff\quad 2cos\!\left[\!\dfrac{\diagup\!\!\!\!2\big(a+b\big)}{\diagup\!\!\!\!2}\!\right]\!\!cos\!\left[\!\dfrac{\diagup\!\!\!\!2\big(a-b\big)}{\diagup\!\!\!\!2}\!\right]\neq0}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 2cos\big(a+b\big)cos\big(a-b\big)\neq0}\\\\\\ \mathsf{\ \Longrightarrow\ \ \ \ \, cos\big(a-b\big)\neq0}$

Já a segunda:

$\mathsf{\qquad\ \ \,\exists\ tg\big(a+b\big)}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad a+b\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}$

Por fim, levando em consideração todas as condições retratadas acima, vamos à demonstração da identidade (i):

$\mathsf{\ \ \,\dfrac{sen\big(2a\big)+sen\big(2b\big)}{cos\big(2a\big)+cos\big(2b\big)}}\\\\\\ \mathsf{ = \dfrac{\diagup\!\!\!\!2\,sen\!\left(\!\!\dfrac{\diagup\!\!\!\!2a+\diagup\!\!\!\!2b}{\diagup\!\!\!\!2}\!\right)\!cos\!\left(\!\!\dfrac{\diagup\!\!\!\!2a-\diagup\!\!\!\!2b}{\diagup\!\!\!\!2}\!\right)}{\diagup\!\!\!\!2\,cos\!\left(\!\!\dfrac{\diagup\!\!\!\!2a+\diagup\!\!\!\!2b}{\diagup\!\!\!\!2}\!\right)\!cos\!\left(\!\!\dfrac{\diagup\!\!\!\!2a-\diagup\!\!\!\!2b}{\diagup\!\!\!\!2}\!\right)}}$

$\mathsf{=\dfrac{sen\big(a+b\big)\overbrace{\mathsf{cos\big(a-b\big)}}^{\neq\,0} }{cos\big(a+b\big)\underbrace{\mathsf{cos\big(a-b\big)}}_{\neq\,0}}}\\\ \mathsf{=\dfrac{sen\big(a+b\big)}{cos\big(a+b\big)}}\\\\\\\mathsf{=tg\big(a+b\big)}$

$\blacksquare$

Mathgamer, um grande abraço!