Question

Demonstrar que para todo número natural n, onde n ≥1:
1² + 2² + ...+n² = n(n+1)(2n+1)/6
Você deverá fazer por duas etapas:
a) Na primeira, por tentativa, você vai confirmar a veracidade da sentença, utilizando a substituição de n=1 (base da indução) , n=2, n=3 e n=4.
b) Na segunda, utilizando o PIF (Princípio da Indução Finita), supor que a igualdade seja válida para n=k (hipótese), em seguida, verificar se também é válida para n=k+1, dessa forma provando que a sentença é válida para todos número natural maior ou igual a 1.

Answer 1

Boa tarde 

1² + 2² + ... + n² = n*(n + 1)*(2n + 1)/6 

para n = 1 , 1² = 1*(1 + 1)*(2*1 + 1)/6 = 2*3/6 = 1

1² + 2² + ... + n² = n*(n + 1)*(2n + 1)/6

1² + 2² + ... + k² + (k + 1)² =
k*(k + 1)*(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)*(k + 2)*(2k + 3)/6 

(k*(k + 1)*(2k + 1) + 6*(k + 1)²)/6 = 

(k + 1)*(k*(2k + 1) + 6*(k + 1))/6 = 
(k + 1)*(2k² + k + 6k + 6)/6 =
(k + 1)*(2k² + 7k + 6)/6 = 

(k + 1)*(k + 2)*(2k + 3)/6