Question

Demonstrar que conjugado de z^n = (conjugado de z)^n para todo n natural.

Answer 1

             $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta)\;,\; \text{donde }\theta = \arg z\\ \\ \\ z^n=|z^n|(\cos n\theta +i\sin n\theta)\\ \\ \\ \overline{z^n}=|z^n|\overline{(\cos n\theta +i\sin n\theta)}\\ \\ \\ \boxed{\overline{z^n}=|z^n|(\cos n\theta -i\sin n\theta)}\\ \\ \\ \\ \text{for other hand: } \overline{z}=|z|(\cos \theta -i\sin \theta)\\ \\ \\ \overline{z}=|z|[\cos (-\theta) +i\sin (-\theta)]$
               
              $\overline{z}\,^n=|z^n|[\cos n(-\theta) +i\sin n(-\theta)]\\ \\ \\ \boxed{\overline{z}\,^n=|z^n|(\cos n\theta -i\sin n\theta)}\\ \\ \\ \hspace*{3cm}\text{For hence: } \overline{z^n}=\overline{z}\,^n$