Question

Demonstrar que a função f(x)= 2x-2x³ satisfaz ás condições do Teorema de Rolle nos intervalos -1<x<0 e 0<x<1  Obs( < ou igual) 

Answer 1

Uma função está e acordo com o Teorema de Rolle, num intervalo fechado [a,b] se

a) A função deve ser contínua no intervalo [a,b]
b) A função deve ser derivável
c) f(a)=f(b)=0

Vejamos se a função f(x)=2x-2x³ satisfaz as três condições

a) A função f(x), do tipo polinomial, é reconhecidamente contínua em todo o seu domínio
b) Toda função polinomial é derivável em todo o seu domínio

f'(x)=2 - 6x²

c) Agora resta verificar para cada intervalo [a,b] dado se satisfazem a condição da letra c) acima;

f(-1) = 2(-1) - 2(-1)³= 2 + 2 = 4
f)(0) = 2.0 - 2,0³ = 0-0=0

Logo para o intervalo [-1;0]  NÃO se verificam as condições do Teorema de Rolle

Agora para o segundo intervalo

f(0) = 0   (vide acima)
f(1) = 2.1 - 2.1³ = 2 - 2 = 0

Logo para o intervalo [0,1]  se verificam as condições do Teorema de Rolle