Question

Demonstrar por “indução matemática” que a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é igual ao produto dos três termos: (1) n dividido por 6; (2) n somado a 1; (3) o dobro de n somado a 1.
RESPOSTA:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\dfrac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}$

A base é $n=1$:

$1^2=\dfrac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}$

$1=\dfrac{1\cdot2\cdot3}{6}$

$1=\dfrac{6}{6}$

Suponha que a hipótese vale para um $n=k$ e vamos mostrar que também vale para $k+1$

Sabemos que:

$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2=\dfrac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)}{6}$

E queremos mostrar que:

$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(2k+3)}{6}$

Substituindo $1^2+2^2+3^2+\dots+k^2$ por $\dfrac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)}{6}$, temos que:

$\dfrac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(2k+3)}{6}$

$\dfrac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)+6\cdot(k+1)^2}{6}=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(2k+3)}{6}$

$\dfrac{(k+1)\cdot[k\cdot1\cdot(2k+1)+6\cdot(k+1)]}{6}=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(2k+3)}{6}$

$\dfrac{(k+1)\cdot[2k^2+k+6k+6]}{6}=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(2k+3)}{6}$

$\dfrac{(k+1)\cdot[2k^2+4k+3k+6]}{6}=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(2k+3)}{6}$

$\dfrac{(k+1)\cdot[2k(k+2)+3(k+2)]}{6}=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(2k+3)}{6}$

$\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(2k+3)}{6}=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(2k+3)}{6}$

Como queríamos demonstrar