definida a função f(x) = 3x+1/√x-3, qual seria o seu dominio D ⊂ R?
a) D = (3,infinito positivo)
b) D = (-3,3)
c) D = (infinito negativo,3
d) D = R
Soluções para a tarefa
Resposta:
O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos:
Limxsetac+ f(x) = Ld
O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos:
Limxsetac_ f(x) = Le
Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz-se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld=Le=L. Com notações simbólicas, escrevemos:
Limxsetac f(x) = L
O que significa que, para qualquer e>0 e arbitrário, existe um d>0, que depende de e, tal que
|f(x)-L|< e
para todo x satisfizando 0 <|x-a|<d.
No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão.
O próximo resultado afirma que uma função não pode se aproximar de dois limites diferentes ao mesmo tempo e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.
Unicidade do Limite: Se Lim f(x)=A e Lim f(x)=B quando x tende ao ponto c, então A=B.
Demonstração: Se e>0 é arbitrário, então existe d'>0 tal que
|f(x)-A| < e/2
sempre que 0<|x-a|<d'. Como também temos por hipótese que existe d">0 tal que
|f(x)-B| < e/2
sempre que 0<|x-a|<d" e tomando d=min{d',d"}>0, temos que:
|f(x)-A| < e/2 e |f(x)-B| <e/2
sempre que 0<|x-a|<d e pela desigualdade triangular, temos:
|A-B| = |A-f(x)+f(x)-B| < |A-f(x)| + |f(x)-B|
e como e>0 é arbitrário, temos:
|A-B| < e
então |A-B| = 0, o que garante que A=B.
Exercício: Se |z|<e para todo e>0, mostre que z=0.