definições da propriedades de função algébrica
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Explicação passo-a-passo:
Em matemática , uma função algébrico é uma função que pode ser definida como a raiz de uma equação polinomial . Muitas vezes funções algébricas são expressões algébricas que utilizam um número finito de termos, envolvendo apenas a operações algébricas adição, subtração, multiplicação, divisão, e levantando a uma potência fraccionada. Exemplos de tais funções são os seguintes:
f (x) = 1 / x
f (x) = {\ sqrt {x}}
{\ Displaystyle f (x) = {\ frac {\ sqrt {1 + x ^ {3}}} {x ^ {3/7} - {\ sqrt {7}} x ^ {1/3}}}}
Algumas funções algébricas, no entanto, pode não ser expressa por tais expressões finitos (isto é o teorema de Abel-Ruffini ). Este é o caso, por exemplo, para o radical Traga , que é a função implicitamente definida pela
{\ Displaystyle f (x) ^ {5} + f (x) + x = 0}.
Em termos mais precisos, uma função algébrica de grau n em uma variável X é uma função que é contínua no seu domínio e satisfaz uma equação polinomial{\ Displaystyle y = f (x),}
a_ {n} (x) y ^ {n} + a_ {n-1} (x) y ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} (x) = 0
onde os coeficientes de um i ( x ) são funções polinomiais de x , com coeficientes inteiros. O valor de uma função algébrica a um número racional , e de modo mais geral, a um número algébrico é sempre um número algébrico. Às vezes, os coeficientes que são polinomial ao longo de um anel R são considerados, e um, em seguida, fala sobre "funções algébricas mais de R . a_ {i} (x)
Uma função que não é algébrico é chamado uma função transcendental , como é por exemplo o caso de . Uma composição de funções transcendentes pode dar uma função algébrica: . \ Exp (X), \ tan (x), \ (x) ln, \ Gamma (X)f (x) = \ cos (\ arcsin (x)) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}
Como uma equação de grau n tem n raízes, uma equação polinomial não define implicitamente uma única função, mas n funções, às vezes também chamados de ramos . Considere por exemplo o equação do círculo unitário : Este determina y , excepto unicamente até um sinal global; consequentemente, tem dois ramos: y ^ {2} + x ^ {2} = 1. \,y = \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}}. \,
Uma função algébrica em m variáveis é definido de forma semelhante como uma função que resolve uma equação polinomial em m 1 variáveis +: {\ Displaystyle y = f (x_ {1}, \ pontos, x_ {m})}
P (Y, x_ {1}, x_ {2}, \ pontos, x_ {m}) = 0. \,
É normalmente assumido que p deve ser um polinómio irredutível . A existência de uma função algébrica é então garantida pelo teorema da função implícita .
Formalmente, uma função algébrica em m variáveis sobre o campo K é um elemento do fecho algébrico do campo de funções racionais K ( x 1 , ..., x m ).