Question

definição de 1/x^2? EU N ENTENDO QNDO O x^2-(x+h)^2/(x+h^2).x^2/h/1  

Answer 1

$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\\\=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\frac{1}{(x+h)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\frac{x^{2}-(x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{x^{2}-(x+h)^{2}}{hx^{2}(x+h)^{2}}$

Usando $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ no numerador:

$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(x+[x+h])(x-[x+h])}{hx^{2}(x+h)^{2}}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(x+x+h)(x-x-h)}{hx^{2}(x+h)^{2}}\\\\\\=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(2x+h)\cdot(-h)}{hx^{2}(x+h)^{2}}$

Como $h\neq0$, podemos cancelá-lo:

$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(2x+h)\cdot(-1)}{x^{2}(x+h)^{2}}$

Agora podemos substituir h por zero:

$f'(x)=\dfrac{(2x+0)\cdot(-1)}{x^{2}(x+0)^{2}}=\dfrac{-2x}{x^{2}\cdot x^{2}}\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=-\dfrac{2}{x^{3}}}}$
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Detalhando a subtração de frações

Nosso objetivo é deixar as frações com o mesmo denominador, para podermos somar normalmente. Multiplicando o numerador e o denominador da primeira por $x^{2}$ e o numerador e denominador da segunda por $(x+h)^{2}$, ficamos com

$\dfrac{1}{(x+h)^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}-\dfrac{(x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}=\dfrac{x^{2}-(x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}$