Question

define-se potência de um ponto P, em relação a um circulo C, de centro O e raio r como sendo o quadrado da distância de P a O menos o quadrado de r. Qual é a potência de um dos vértices do hexágono regular circunscrito a um círculo de raio r, em relação a este círculo?

Answer 1

A fórmula da potência do ponto P será: 

$P_P=[d(PO)]^2-r^2$

Veja a figura abaixo e observe que o raio do círculo será igual ao apótema (distância do centro ao ponto médio do lado) do hexágono regular. Observe também que se traçarmos uma reta do centro até um vértice do hexágono regular formaremos um triângulo retângulo com a metade do lado do hexágono e seu apótema.
Agora vamos saber a medida dos ângulos deste triângulo formado. Sabemos que para somarmos os ângulos internos de um polígono regular usamos a fórmula:

$S_n=(n-2).180$º

Onde n é o número de lados do polígono. Neste caso n=6 (hexágono). Assim:

$S_n=(n-2).180$º

$S_6=(6-2).180$º

$S_6=4.180$º

$S_6=720$º

Para encontrar o valor do ângulo interno de cada vértice basta dividir por 6, pois o hexágono tem 6 vértices. Assim:

$Â= \frac{S_n}{n}=\frac{720}{6}=120$º

Como a reta traçada do centro até um vértice divide este ângulo por 2 então teremos 60º. Se traçarmos duas retas do centro até vértices consecutivos então formaremos um triângulo equilátero (veja a imagem abaixo), pois os dois ângulos formados pelas retas traçadas e o vértice do hexágonos serão 60º. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º então o ângulo formado pelas duas retas no centro também será 60º. Em consequência disto os lados deste triângulo também serão iguais. Como o apótema divide o lado por 2 e também divide o triângulo equilátero em 2 triângulos retângulos. Então vamos trabalhar com este triângulo retângulo para descobrir a distância do vértice do hexágono até o centro do círculo que é igual ao lado do triângulo equilátero (L) e o outro lado será a metade o lado do triângulo equilátero (L/2) e o terceiro lado será o apótema que é igual ao raio do círculo. Assim usamos o teorema de pitágoras para encontrar o valor de L. Assim:

$L^2=(\frac{L}{2})^2+r^2$

$L^2=\frac{L^2}{2^2}+r^2$

$L^2=\frac{L^2}{4}+r^2$

$L^2-\frac{L^2}{4}=r^2$

$\frac{4.L^2-L^2}{4}=r^2$

$\frac{3L^2}{4}=r^2$

$L^2=\frac{4.r^2}{3}$

$L=\sqrt{\frac{4.r^2}{3}}$

$L=\frac{\sqrt{4}.\sqrt{r^2}}{\sqrt{3}}$

$L=\frac{2.r}{\sqrt{3}}$

$L=\frac{2.r}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$L=\frac{2r\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}$

$L=\frac{2r\sqrt{3}}{3}$

Voltando a fórmula da potência do ponto P, onde $d(PO)=L$. Assim: 

$P_P=[d(PO)]^2-r^2$

$P_P=L^2-r^2$

Substituindo o valor de L encontrado, teremos:

$P_P=(\frac{2r\sqrt{3}}{3})^2-r^2$

$P_P=\frac{(2r\sqrt{3})^2}{3^2}-r^2$

$P_P=\frac{2^2r^2(\sqrt{3})^2}{3^2}-r^2$

$P_P=\frac{4.r^2.3}{3.3}-r^2$

$P_P=\frac{4.r^2.1}{3.1}-r^2$

$P_P=\frac{4r^2}{3}-r^2$

$P_P=\frac{4r^2-3r^2}{3}$

$P_P=\frac{r^2}{3}$

Portanto, a potência de um ponto, localizado no vértice de um hexágono regular circunscrito em um círculo, em relação a este mesmo circulo é $\frac{r^2}{3}$.