Question

defina uma função que calcule um número da sequência de fibonacci **em uma linha**

Answer 1

A função que calcula o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci é aₙ = (((1 + √5) / 2)ⁿ - ((1 - √5) / 2)ⁿ) / √5.

Para realizar este exercício vamos deduzir a fórmula de Binet.

Escolhendo uma função quadrática conveniente

Foi no século 18 que o matemático Jacques Philippe Marie Binet desenvolveu uma fórmula para encontrar o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci ao escolher a equação x² - x - 1 = 0 como seu ponto de partida. Intencional ou acidentalmente Binet percebeu a seguinte simetria para esta equação:

x² - x - 1 = 0

x² = x + 1

x³ = x * x²

x³ = x * (x + 1)

x³ = x² + x

x³ = x + 1 + x

x³ = 2x + x

x⁴ = x * x³

x⁴ = x * (2x + x)

...

x⁴ = 3x + 2

x⁵ = 5x + 3

x⁶ = 8x + 5

x⁷ = 13x + 8

Ou seja, para os termos aₙ da sequência de Fibonacci temos que, de x² - x - 1 = 0 extraímos:

• xⁿ = (aₙ)x + aₙ₋₁

Para ajustarmos também para o primeiro termo (n = 1) assumimos que o antecessor do primeiro termo da sequência é nulo, ou seja:

x = x

x¹ = 1 * x¹ + 0

Raízes da equação

Pela fórmula de Bháskara podemos observar que as raízes de x² - x - 1 = 0 são:

• δ = (1 + √5) / 2
• β = (1 - √5) / 2

Substituindo as raízes na expressão temos:

• δⁿ = (aₙ)δ + aₙ₋₁
• βⁿ = (aₙ)β + aₙ₋₁

A diferença entre as raízes

δⁿ - βⁿ = (aₙ)δ + aₙ₋₁ - (aₙ)β - aₙ₋₁

δⁿ - βⁿ = (aₙ)δ - (aₙ)β + aₙ₋₁- aₙ₋₁

δⁿ - βⁿ = aₙ * (δ - β)

aₙ = (δⁿ - βⁿ) / (δ - β)

aₙ = (((1 + √5) / 2)ⁿ - ((1 - √5) / 2)ⁿ) / ((1 + √5) / 2 - (1 - √5) / 2)

aₙ = (((1 + √5) / 2)ⁿ - ((1 - √5) / 2)ⁿ) / (2√5) / 2)

$\large\blue{\text{ \bf a_n = \dfrac{\left(\dfrac{1 + \sqrt5}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1 - \sqrt5}{2}\right)^n}{\sqrt5} }}$

Essa lei de formação se relaciona de forma bela com o número de ouro, mas isso já é um assunto para outra questão.

Continue estudando sobre sequência de Fibonacci aqui: https://brainly.com.br/tarefa/38666662

#SPJ4