Defina o valor da integral indefinida dada:
(Dica: Utilize integração por substituição e lembre-se que sen2 x+cos2 x=1.)
Essa ta me quebrando, não consigo achar uma explicação.
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O valor da integral indefinida é sec⁵(x)/5 - sec³(x)/3 + c.
Sabemos que a secante é a inversa do cosseno. Sendo assim, podemos dizer que é igual a tg³(x).sec³(x).
Além disso, perceba que tg³(x).sec³(x) é igual a tg(x).tg²(x).sec³(x) e que tg²(x) = sec²(x) - 1. Então, tg³(x).sec³(x) = (sec²(x) - 1).tg(x).sec³(x).
Devemos calcular, então a integral ∫(sec²(x) - 1).tg(x).sec³(x)dx.
Considerando u = sec(x), então du = tg(x).sec(x)dx. Assim, temos que:
∫(sec²(x) - 1).tg(x).sec³(x)dx = ∫(u² - 1).u².du = ∫(u⁴ - u²).du = u⁵/5 - u³/3.
Voltando à variável x, podemos concluir que: sec⁵(x)/5 - sec³(x)/3.
Como a integral é indefinida, então a resposta é sec⁵(x)/5 - sec³(x)/3 + c.
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