Question

Defina o Método de Newton-Raphson.

Answer 1

Em análise numérica, o Método de Newton (ou Método de Newton-Raphson), desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontramos a raiz da função. Em notação matemática, o Método de Newton é representado da seguinte forma:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} ,

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e f'(xn) é a derivada da função f em xn.

Para que se obtenha sucesso na iteração, devemos respeitar a seguinte condição:

A função f deve ser diferenciável em xn e seu valor deve ser não nulo.
Interpretação Geométrica do Método de Newton

Consideremos o problema de calcular a raiz de uma função f, conforme a figura ao lado[1] [2] [3] [4] .


As três primeiras iterações do método de Newton.[5]
Queremos calcular x1 em função de x0, sabendo que x1 será a cota no eixo das abcissas interceptado pela reta tangente à curva, originada por x0.

A equação da reta que passa por (x0,f(x0)) e é tangente à curva em (x0,f(x0)) tem inclinação m=f'(x0), é dada por:

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)


Sabendo que essa reta passa por (x1,0), temos que:

0 - f(x_0) = f'(x_0)(x_1 - x_0)


Portanto,

x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}


De modo geral, teremos:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}