Defina as operações binárias ♣️ e ♡ como
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para todo número real a e b para os quais essas expressões estão definidas. A sequência (aₙ) é definida recursivamente por
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para todo número natural n ≥ 4.
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Qual é o número natural mais próximo de log₇ (a₂₀₂₀) ?
Soluções para a tarefa
Resposta: o natural mais próximo de log₇ (a₂₀₂₀) é 11 (onze).
O enunciado nos apresenta as operações binárias ♣️ e ♡, definindo-as como
, para todo número real a e b para os quais essas expressões estão definidas. Vimos também que a sequência é definida recursivamente por
, para todo natural n ≥ 4. Isto posto, vamos agora calcular o valor de a₃ :
Seguidamente, temos o valor de a₄ :
Com base nos resultados obtidos acima, podemos conjecturar que ∀n ∈ ℕ, com n ≥ 3,
Para provar que ( 1 ) vale para qualquer natural n ≥ 3, recorreremos a seguir ao famigerado Princípio da Indução Finita, comumente designado apenas por PIF. Assim como em toda demonstração via PIF, verificaremos primeiro se a referida fórmula é verdadeira para o elemento mínimo n = 3 (base de indução), depois suporemos sua validade para qualquer natural k ≥ 3 (hipótese de indução) e, por último, tentaremos provar que ela também vale para o sucessor k + 1 de k.
➯ Base de indução
Como vimos, ela vale para n = 3, pois
➯ Hipótese de indução
Admitamos que ( 1 ) seja verdadeira para todo k ≥ 3, ou melhor, ∀k ∈ ℕ, com k ≥ 3, temos
Partindo de , usando ( 2 ) e a recorrência dada no início desta resolução, encontramos:
Ou seja, a fórmula ( 1 ) é válida para k e também para k + 1. Consequentemente, provamos que ∀n ∈ ℕ, com n ≥ 3,
Sendo assim, log₇ (a₂₀₂₀) será:
Portanto, podemos escrever:
Como vemos, a diferença não negativa entre 2048 e 2020 é 28 e a diferença não negativa entre 2020 e 1024 é 996. Por este motivo, o log₇ (a₂₀₂₀) estará mais próximo do natural log₂ (2048), cujo valor é 11 (onze).
