Deduza a fórmula para o volume do tronco de um cone circular reto,rotacionando o segmento de reta de (o,b) a (h,a) em torno do eixo x.
Soluções para a tarefa
|x y 1|
|o b 1| = 0
|h a 1|
bx + oa + hy - bh - ax - oy = 0
(b -a)x + (h - o)y + oa - bh = 0
y = (b - a)x/(o - h) + (oa - bh)/(o - h)
Para não poluirmos os cálculos, deixaremos y = mx + n, onde:
m = (b - a)/(o - h) e n = (oa - bh)/(o - h)
Um elemento de volume em torno do eixo x é dado por:
dV = πr².dx
Observe que o raio r acima é uma função e sua dimensão varia conforme a função da reta obtida.
dV = πy².dx
dV = π(mx + n)².dx
Integrando de o até h, obtemos o volume:
V = ∫[oh] π(mx + n)².dx
V = ∫[oh] π(m²x² + 2mnx + n²).dx
V = π(m²x³/3 + 2mnx²/2 + n²x)|[oh]
V = π(m²h³/3 + mnh² + n²h) - π(m²o³/3 + mno² + n²o)
V = πh(m²h²/3 + mnh + n²) - πo(m²o²/3 + mno + n²)
Substituindo:
V = πh{[(b - a)²/(o - h)²]h²/3 + [(b - a)/(o - h)][(oa - bh)/(o - h)]h + (oa - bh)²/(o - h)²}
- πo{[(b - a)²/(o - h)²]o²/3 + [(b - a)/(o - h)][(oa - bh)/(o - h)]o + (oa - bh)²/(o - h)²}
V = πh{[(b - a)²/(o - h)²]h²/3 + [(b - a)(oa - bh)/(o - h)²]h + (oa - bh)²/(o - h)²}
- πo{[(b - a)²/(o - h)²]o²/3 + [(b - a)(oa - bh)/(o - h)²]o + (oa - bh)²/(o - h)²}
V = [πh/(o - h)²][(b - a)²h²/3 + (b - a)(oa - bh)h + (oa - bh)²]
- [πo/(o - h)²][(b - a)²o²/3 + (b - a)(oa - bh)]o + (oa - bh)²].
A fórmula para o volume do tronco será: V = 1/3 πh (a² + ab + b²).
O Volume dos sólidos:
Acaba sendo determinado através dos planos x =a e x = b e dessa forma, a área da secção transversal de x será um função integrável A (x) como a integral de A até b de a, será refletida pela seguinte maneira:
V = b∫a A(x) . dx
Então sendo u = a + b, encontraremos:
x / h = y / u = 1 ⇔ ux + hy / uh = 1
ux + hy = uh
y = uh - ux / h
y = - u/h x + u (Sendo assim o segmento);
V = h∫o π [R (x)]² dx
V = π h∫o (- u/h x + u)² dx
V = π h∫o (x² u²/h² - x2u² / h + u²) dx
V = u² π h∫o (x² 1/h² - x2/h + 1) dx
V = u² π [x³ 1/3h² - x² 1/h + x]
V = u² π [(h)³ 1/3h² - (h)² 1/h + h]
V = u² π [h/3 - (h) + h]
V = 1/3 hπ u²
V = 1/3 πh (a² + ab + b²).
Para saber mais sobre o assunto:
https://brainly.com.br/tarefa/48381451
Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :)
