Question

Deduza a fórmula de Heron.

Answer 1

Resposta:

Abaixo!

Explicação passo-a-passo:

Boa noite!

A fórmula de Heron entrega a área de um triângulo conhecidas as medidas de seus 3 lados.

Dados: a, b e c, 3 lados do triângulo

Calcule: área do triângulo.

Suponhamos inicialmente o triângulo conforme a figura. Sua área vale:

$A=\dfrac{b\cdot h}{2}$

Podemos obter o valor de h usando o ângulo θ:

$\sin\theta=\dfrac{h}{c}\\h=c\cdot\sin\theta$

Então:

$A=\dfrac{b\cdot c\cdot\sin\theta}{2}$

Agora, podemos utilizar a lei dos cossenos:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta\\\cos\theta=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Na fórmula da área precisamos do valor do seno, então:

$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\\\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2 \theta}\\\sin\theta=\sqrt{\left(1+\cos\theta\right)\cdot\left(1-\cos\theta\right)}$

Agora que temos o seno em função do cosseno, façamos a substituição:

$1+\cos\theta=1+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\\1+\cos\theta=\dfrac{(b+c)^2-a^2}{2bc}=\dfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}$

e

$1-\cos\theta=1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}\\\\1-\cos\theta=\dfrac{a^2-(b-c)^2}{2bc}=\dfrac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}$

Definição: Perímetro: Soma de todos os lados de uma figura. No caso, como temos somente 3 lados:

$2p=a+b+c$

Veja que o perímetro é dado por 2p e não por p. p é semiperímetro.

Então, façamos o seguinte: do semi-perímetro façamos a subtração de um dos lados:

$p-a=\dfrac{a+b+c}{2}-a=\dfrac{a+b+c-2a}{2}=\dfrac{-a+b+c}{2}$

Observe, então:

$1+\cos\theta=\dfrac{2p\cdot 2(p-a)}{2bc}\\\\1-\cos\theta=\dfrac{2(p-b)\cdot 2(p-c)}{2bc}$

Agora, colocando na fórmula da área:

$A=\dfrac{bc}{2}\cdot\sin\theta=\dfrac{bc}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{2p\cdot 2(p-a)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-c)}{2bc\cdot 2bc}}\\\\A=\dfrac{bc}{2}\cdot\dfrac{1}{2bc}\cdot\sqrt{16p(p-a)(p-b)(p-c)}\\\\A=\dfrac{1}{4}\cdot 4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\\\\boxed{A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Espero ter ajudado!