Question

Deduza a equação da parábola onde o foco tem coordenadas F (0,4)e diretriz y=3 ?
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Answer 1

Após os cálculos realizados podemos concluir  que a equação da parábola é $\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +14y +7 = 0 } }$.

Usando a propriedade de todo $\boldsymbol{ \textstyle \sf P ( x, y ) }$ da parábola, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\sqrt{(x -x_0)^2 + (y -y_0)^2} ~ = ~ \dfrac{ \mid ax + by +c \mid}{\sqrt{a^2 + b^2} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

Uma equação da parábola é obtida considerando- se um ponto genérico $\boldsymbol{ \textstyle \sf P ( x, y ) }$:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf x_0 = 0 \\ \sf y_0 = 4 \\ \sf y = 3 \Rightarrow y - 3 = 0 \\ \sf a = 0 \\ \sf b = 1 \\ \sf c = - 3 \end{cases}$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\sqrt{(x -x_0)^2 + (y -y_0)^2} ~ = ~ \dfrac{ \mid ax + by +c \mid}{\sqrt{a^2 + b^2} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 4)^2} ~ = ~ \dfrac{ \mid 0 \cdot x + 1 \cdot y + (-3) \mid}{\sqrt{ 0^2 + 1^2} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\sqrt{(x )^2 + (y - 4)^2} ~ = ~ \dfrac{ \mid y - 3 \mid}{\sqrt{ 0 + 1} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\sqrt{(x )^2 + (y - 4)^2} ~ = ~ \dfrac{ \mid y - 3 \mid}{\sqrt{ 1} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\sqrt{(x )^2 + (y - 4)^2} ~ = ~ \mid y - 3 \mid } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \sqrt{(x )^2 + (y - 4)^2} \right)^2 ~ = ~ \left( y - 3 \right)^2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +( y -4)^2 = (y -3)^2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +y^2 +8y + 16 = y^2 - 6y + 9 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +\diagdown\!\!\!\! { y^2} - \diagdown\!\!\!\! {y^2} +8y + 6y + 16 - 9 = 0} }$

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} + 14y + 7 = 0 } } }$

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