Question

Decompor os radicais, obtendo como resultado um número inteiro multiplicado por uma raiz não exata.

A) raíz cúbica de 400
B) raíz cúbica de 160
C) raíz quarta de 64
D) raíz quarta de 100000
E) raíz quarta de 128

Answer 1

Olá.

Para decompor, primeiro temos que fatorar, usando números primos, para depois colocar o valor dentro de uma raiz e desenvolver.
Dentro da raiz, quando o expoente for igual ao índice, podemos retirar o número da raiz, deixando-o fora, multiplicando-a.

Fazendo caso a caso, vamos aos cálculos.

QUESTÃO A

Fatoremos:
$\begin{array}{llll} 400&|&2\\ 200&|&2\\ 100&|&2\\ 50&|&2\\ 25&|&5\\ 5&|&5\\ 1&|&=&2^4\cdot5^2 \end{array}$

Dentro da raiz, teremos:
$\large\mathsf{\sqrt[3]{160}=}\\\\\mathsf{\sqrt[3]{2^4\cdot5^2}=}\\\\ \mathsf{\sqrt[3]{2\cdot2^3\cdot5^2}=}\\\\ \mathsf{2\sqrt[3]{2\cdot5^2}=}\\\\ \boxed{\mathsf{2\sqrt[3]{10}}}$


QUESTÃO B

Fatoremos:
$\begin{array}{llll}160&|&2\\80&|&2\\40&|&2\\20&|&2\\10&|&2\\5&|&5\\1&|&=&2^5\cdot5\end{array}$

Dentro da raiz, teremos:
$\large\mathsf{\sqrt[3]{160}=}\\\\\mathsf{\sqrt[3]{2^5\cdot5}=}\\\\\mathsf{\sqrt[3]{2^2cdot2^3\cdot5}=}\\\\\mathsf{2\sqrt[3]{2^2\cdot5}=}\\\\\mathsf{2\sqrt[3]{4\cdot5}=}\\\\\boxed{\mathsf{2\sqrt[3]{20}}}$


QUESTÃO C

Fatoremos:
$\begin{array}{llll}64&|&2\\32&|&2\\16&|&2\\8&|&2\\4&|&2\\2&|&2\\1&|&=&2^6\end{array}$

Dentro da raiz, teremos:
$\large\mathsf{\sqrt[4]{64}=}\\\\\mathsf{\sqrt[4]{2^6}=}\\\\\mathsf{\sqrt[4]{2^4\cdot2^2}=}\\\\\mathsf{2\sqrt[4]{2^2}=}\\\\\boxed{\mathsf{2\sqrt[4]{4}}}$


QUESTÃO D

Fatoremos:
$\begin{array}{llll}100000&|&2\\50000&|&2\\25000&|&2\\12500&|&2\\6250&|&2\\3125&|&5\\625&|&5\\125&|&5\\25&|&5\\5&|&5\\1&|&=&2^5\cdot5^5\end{array}$

Dentro da raiz, teremos:
$\large\mathsf{\sqrt[4]{100.000}=}\\\\\mathsf{\sqrt[4]{2^5\cdot5^5}=}\\\\\mathsf{\sqrt[4]{2\cdot2^4\cdot5\cdot5^4}=}\\\\\mathsf{2\cdot5\sqrt[4]{2\cdot5}=}\\\\\boxed{\mathsf{10\sqrt[4]{10}}}$


QUESTÃO E

Fatoremos:
$\begin{array}{llll}128&|&2\\64&|&2\\32&|&2\\16&|&2\\8&|&2\\4&|&2\\2&|&2\\1&|&=&2^7\end{array}$

Dentro da raiz, teremos:
$\large\mathsf{\sqrt[4]{2^7}=}\\\\\mathsf{\sqrt[4]{2^3\cdot2^4}=}\\\\\mathsf{2\sqrt[4]{2^3}=}\\\\\boxed{\mathsf{2\sqrt[4]{8}}}$


Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.