Question

Decompor o trinômio -6x² + 36x - 56 em uma diferença de dois cubos do tipo (x-b)³ - (x-a)³.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é simples.
Pede-se para decompor o trinômio "-6x² + 36x - 56" em uma diferença de dois cubos do tipo: (x-b)³ - (x-a)³.
Note que faremos o seguinte: tomaremos "x-b)³ - (x-a)³ e igualaremos ao trinômio "-6x² + 36x - 56". Então, fazendo isso, teremos:

(x-b)³ - (x-a)³ = - 6x² + 36x - 56 ----- desenvolvendo os cubos no 1º membro, teremos:

(x³-3x²b+3xb²-b³) - (x³-3x²a+3xa²-a³) = -6x² + 36x - 56 ---- retirando-se os parênteses do 1º membro, iremos ficar assim:

x³ - 3x²b + 3xb² - b³ - x³ + 3x²a - 3xa² + a³ = - 6x² + 36x - 56 ----- vamos ordenar o 1º membro, com o que ficaremos assim:

x³-x³ + 3x²a-3x²b + 3xb²-3xa² + a³-b³ = -6x² + 36x - 56 ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, ficaremos apenas assim:

3x²a-3x²b + 3xb²-3xa² + a³-b³ = - 6x² + 36x - 56

Agora veja: colocaremos "x²" em evidência nos fatores "3x²a-3x²b"; e colocaremos "x" em evidência nos fatores: "3xb²-3xa²". Assim, fazendo isso, teremos:

(3a - 3b)x² + (3b²-3a²)x + a³-b³ = - 6x² + 36x - 56

Agora vamos comparar os coeficientes do primeiro membro com os seus correspondentes no 2º membro (coeficiente de x² do 1º membro com o coeficiente de x² do 2º membro; coeficiente de "x" do 1º membro com o coeficiente de "x" do 2º membro; coeficientes do termo independente do 1º membro com os coeficientes do termo independente do 2º membro).
Assim, teremos:

3a - 3b = - 6 ----- dividindo-se ambos os membros por "3", ficaremos:
a - b = - 2
a = - 2 + b --- ou apenas:
a = b - 2       . (I)

3b² - 3a² = 36 ---- dividindo-se ambos os membros por "3", ficaremos com:
b² - a² = 12     . (II)

e

a³ - b³ = - 56     . (III)

Note que talvez nem sequer iremos necessitar utilizar a expressão (III), pois, como são apenas duas incógnitas, as expressões (I) e (II) deverão resolver.
Então vamos na expressão (II) e, nela, substituiremos "a" por "b-2",conforme vimos na expressão (I).
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

b² - a² = 12 ---- substituindo-se "a" "b-2" , conforme vimos na expressão (I), teremos:

b² - (b-2)² = 12 ------ desenvolvendo o quadrado indicado, teremos:
b² - (b²-4b+4) = 12 --- retirando-se os parênteses, temos:
b² - b² + 4b - 4 = 12 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:
4b - 4 = 12 --- passando "-4" para o 2º membro, temos;
4b = 12 + 4
4b = 16
b = 16/4
b = 4 <--- Este será o valor de "b".

Agora, para encontrar o valor de "a" , vamos na expressão (I), que é esta;

a = b - 2 ----- substituindo-se "b" por "4", teremos:
a = 4 - 2
a = 2 <--- Este será o valor de "a".

Dessa forma, como já temos que a = 2 e b = 4 , então basta que substituamos "a" e "b" por seus valores no tipo de diferença de cubo pedida. Assim, se a diferença de cubo pedida é (x-b)³ - (x-a)³ = -6x² + 36x - 56 , então basta que substituamos o "b" e o "a" por "4" e "2", respectivamente.
Assim, ficaremos:

(x-4)³ - (x-2)³ = - 6x² + 36x - 56   <--- Pronto. A questão pede apenas isto.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.