Question

Decompor o polinômio:
-x^3+4x^2+7x-10 em um produto de fatores do primeiro grau, sabendo que 1 é raiz desse polinômio.

Answer 1

Já que você sabe uma raiz de um polinomio do terceiro grau você primeiro aplica briot ruffini dividindo o polinomio pela sua respectiva raiz, então fica

1| -1 4 7 ¦10
-1 3 10 ¦0

então logo após teremos uma equação do segundo grau -x²+3x+10, então para saber as 2 raízes que faltam aplicamos fórmula de bhaskara mas antes precisamos do delta

Delta = 3² - 4.(-1).10
Delta = 9 -(-40)
Delta = 49

x' = (-3 + √49)/ -2
x' = -4/-2 = 2

x"= (-3 - √49)/ -2
x"= -10/-2
x"= 5

Answer 2

O polinômio decomposto em fatores do primeiro grau é (x - 1)·(x + 2)·(x - 5).

Divisão de polinômios

Pelo teorema de D'Alembert, podemos dizer que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x - a) será dada por P(a).

Se 1 é raiz desse polinômio, ele pode ser dividido pelo binômio x - 1, e seu resto será zero, logo, pela divisão de polinômios:

-x³/x = -x²

-x²·(x - 1) = -x³ + x²

-x³ + 4x² + 7x - 10 - (-x³ + x²) = 3x² + 7x - 10

3x²/x = 3x

3x · (x - 1) = 3x² - 3x

3x² + 7x - 10 - (3x² - 3x) = 10x - 10

10x/x = 10

10 · (x - 1) = 10x - 10

10x - 10 - (10x - 10) = 0

Logo, temos que:

-x³ + 4x² + 7x - 10 = (x - 1)·(-x² + 3x + 10)

Pela fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes do polinômio do segundo grau, sendo x' = -2 e x'' = 5, logo:

-x³ + 4x² + 7x - 10 = (x - 1)·(x + 2)·(x - 5)

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