Question

decomponha w = (−1, −3, 2) como soma de dois vetores w1 e w2, com w1 paralelo ao vetor (0,1,3) e w2 ortogonal a este ´ultimo

Answer 1

O vetor w pode ser decomposto como a soma dos vetores (0, 3/10, 9/10) + (-1, -33/10, 11/10).

Produto escalar

A definição do produto escalar pode ser dada através da expressão abaixo onde u e v são vetores em R3:

$u \cdot v = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

Se w1 é paralelo ao vetor (0, 1, 3), podemos escrevê-lo como:

w1 = k·(0, 1, 3)

w1 = (0, k, 3k)

Se w1 e w2 são ortogonais, pelo produto escalar:

w1·w2 = (0, k, 3k)·(a, b, c) = 0

k·b + 3k·c = 0

k·b = -3k·c

b = -3c

Logo, podemos escrever w2 como:

w2 = (a, -3c, c)

w2 = a·(1, 0, 0) + c·(0, -3, 1)

O vetor w pode ser decomposto como a soma de w1 e w2:

(-1, -3, 2) = k·(0, 1, 3) + a·(1, 0, 0) + c·(0, -3, 1)

-1 = 0k + a + 0c ⇒ a = -1

-3 = k + 0a - 3c ⇒ k = 3c - 3

2 = 3k + 0a + c

2 = 3·(3c - 3) + c

2 = 10c - 9

c = 11/10

k = 3·(11/10) - 3

k = 3/10

Logo, podemos escrever o vetor w como:

w = (0, k, 3k) + (a, -3c, c)

w = (0, 3/10, 9/10) + (-1, -33/10, 11/10)

Leia mais sobre produto escalar em:

https://brainly.com.br/tarefa/8133865

#SPJ4