Decomponha V=(-1,-3,2) como soma de dois vetores U1, U2, sendo que U1 é paralelo a U=(0,1,3), e U2, ortogonal a U. Ovalor da soma das normas de U1 e U2 é igual a:
Soluções para a tarefa
Amigo, não sei quem te passou essa lista de questões, mas tá num nível bem salgado hein. Bem trabalhosa o raciocínio, ela trabalha com uma parte delicada de paralelismo que pode bugar qualquer um. Pois é, vamos a resolução.
O que você precisa fazer pra resolver essa questão:
- Noções de soma de vetores
- Noções de paralelismo de vetores
- Noções de ortogonalidade de vetores
- Noção de norma do vetor
O que você precisa encontrar pra resolver a questão:
1. Os vetores U1 e U2
2. A soma das normas de U1 e U2
Resolução:
O que temos de informações:
V=(-1,-3,2)
U=(0,1,3)
V = U1+U2 **
U1 é paralelo a U **
U2 é ortogonal a U (Formam um ângulo de 90°) **
Como não sabemos quais são as coordenadas de U1 e U2. Vamos dar letras pra cada coordenada. Lembrando que, um vetor v é dado por:
v = (Coordenada do eixo X, C. do e. Y, C. do e. Z) = (x, y, z)
Então:
U1 = (a,b,c)
U2 = (e,f,g)
Agora, meu amigo, com as informações, precisamos encontrar: a,b,c,e,f,g
Moleza, só precisamos garantir que isso aconteça:
V = U1+U2 (1)
U1 é paralelo a U (2)
U2 é ortogonal a U (Formam um ângulo de 90°) (3)
Garantindo que o (1) aconteça:
V = U1+U2
(-1,-3,2) = (a,b,c)+(e,f,g)
(-1,-3,2) = (a+e,b+f,c+g)
Para isso acontecer, esse sistema tem que ser respeitado:
a+e = -1
b+f = -3
c+g = 2
Seria muito legal encontrar a solução desse sistema. Contudo, com 6 variáveis e 3 equações a menos, fica muito dificil. Então ainda temos outros critérios pela frente!
Garantindo que o (2) aconteça:
U1 é paralelo a U. Logo, as coordenadas de U1 quando divididas pelas de U, cada uma por sua vez, elas têm que resultar na mesma constante.
Exemplo: W = (2,3,4) é paralelo a K = (4,6,8). Pois dividindo cada coordenada de W por K, resulta em 2.
Mas, lembra do problema que eu disse que ia ter? O vetor U tem uma coordenada igual a 0. Quando isso acontece, automaticamente, a mesma coordenada do outro vetor paralelo precisa ser 0. Olha só:
U = (0,1,3) e U1 = (a,b,c). Aplicando o critério:
0/a = 1/b = 3/c (viu o problema? não? olha o problema abaixo)
a/0 = b = c/3 (se a for diferente de 0, então teremos um absurdo, pois nenhum número é divisível por 0.)
Pra solucionar isso, consideramos a = 0. Logo, a divisão vai ser indeterminada, mas não inexistente. Então, seguimos com:
1/b = 3/c
c = 3b
Logo temos mais um requisito a ser seguido por (2):
"a = 0" e "c = 3b".
Garantindo que o (3) aconteça:
U2 é ortogonal a U. Então, o ângulo entre eles tem que ser 90°
Bom, o ângulo entre dois vetores é calculado pela seguinte fórmula:
V.W = ||V||.||W||.Cos(Â) ; Â é o ângulo entre os vetores quaiquer V e W.
Com isso em mente, temos:
U2.U = ||U2||.||U||.Cos(90°) = ||U2||.||U||.0 = 0
U2.U = 0 (Requisito pra eles serem ortogonais)
Fazendo o produto escalar entre eles e igualando a 0, temos:
(e,f,g).(0,1,3) = 0
e.0+1.f+3.g = 0
f + 3g = 0
f = -3g (Encontramos o último requisito)
Com todos os requisitos, voltamos ao sistema inicial e fazemos as devidas substituições:
a+e = -1
b+f = -3
c+g = 2
Vira o sistema abaixo, com c = 3b, a = 0, f = -3g:
0+e = -1
b-3g = -3
3b+g = 2
Desse sistema, concluímos que e = -1. Além disso, resolvendo o sistema:
b-3g = -3
3b+g = 2
Temos:
10b = 3
b = 3/10
g = 2-(9/10) = 11/10
Só pra esclarecer, encontramos até agora:
a = 0
b = 3/10
c = 3b = 9/10 (encontramos com b)
e = -1
f = -3g = -33/10 (encontramos com g)
g = 11/10
Pronto, encontramos os benditos vetores que atendem a todos os requisitos da questão:
U1 = (0, 3/10, 9/10)
U2 = (-1. -33/10, 11/10)
Calculando (finalmente) a soma das normas dos vetores:
||U1||+||U2|| = [√(0²+(3/10)²+(9/10)²)] + [√((-1)²+(-33/10)²+(11/10)²)]
||U1||+||U2|| = [√((9/100)+(81/100))] + [√(1+(1089/100)+(121/100))]
||U1||+||U2|| = [√(9/10)] + [√(131/10)]
||U1||+||U2|| = [3/√10)] + [√131/√10)]
||U1||+||U2|| = (3+√131)/√10
||U1||+||U2|| = (3√10+√1310)/10
Esse é o valor mais exato da soma das normas. Uma aproximação é essa:
||U1||+||U2|| ≅ 4,5680
Espero que tenha te ajudado em G.A. É uma disciplina maravilhosa e bem complexa, então não desanime!