Matemática, perguntado por llucascmc, 8 meses atrás

Decomponha V=(-1,-3,2) como soma de dois vetores U1, U2, sendo que U1 é paralelo a U=(0,1,3), e U2, ortogonal a U. Ovalor da soma das normas de U1 e U2 é igual a:

Soluções para a tarefa

Respondido por marcospaulopaiva
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Amigo, não sei quem te passou essa lista de questões, mas tá num nível bem salgado hein. Bem trabalhosa o raciocínio, ela trabalha com uma parte delicada de paralelismo que pode bugar qualquer um. Pois é, vamos a resolução.

O que você precisa fazer pra resolver essa questão:

- Noções de soma de vetores

- Noções de paralelismo de vetores

- Noções de ortogonalidade de vetores

- Noção de norma do vetor

O que você precisa encontrar pra resolver a questão:

1. Os vetores U1 e U2

2. A soma das normas de U1 e U2

Resolução:

O que temos de informações:

V=(-1,-3,2)

U=(0,1,3)

V = U1+U2 **

U1 é paralelo a U **

U2 é ortogonal a U (Formam um ângulo de 90°) **

Como não sabemos quais são as coordenadas de U1 e U2. Vamos dar letras pra cada coordenada. Lembrando que, um vetor v é dado por:

v = (Coordenada do eixo X, C. do e. Y, C. do e. Z) = (x, y, z)

Então:

U1 = (a,b,c)

U2 = (e,f,g)

Agora, meu amigo, com as informações, precisamos encontrar: a,b,c,e,f,g

Moleza, só precisamos garantir que isso aconteça:

V = U1+U2  (1)

U1 é paralelo a U   (2)

U2 é ortogonal a U (Formam um ângulo de 90°)  (3)

Garantindo que o (1) aconteça:

V = U1+U2

(-1,-3,2) = (a,b,c)+(e,f,g)

(-1,-3,2) = (a+e,b+f,c+g)

Para isso acontecer, esse sistema tem que ser respeitado:

a+e = -1

b+f = -3

c+g = 2

Seria muito legal encontrar a solução desse sistema. Contudo, com 6 variáveis e 3 equações a menos, fica muito dificil. Então ainda temos outros critérios pela frente!

Garantindo que o (2) aconteça:

U1 é paralelo a U. Logo, as coordenadas de U1 quando divididas pelas de U, cada uma por sua vez, elas têm que resultar na mesma constante.

Exemplo: W = (2,3,4) é paralelo a K = (4,6,8). Pois dividindo cada coordenada de W por K, resulta em 2.

Mas, lembra do problema que eu disse que ia ter? O vetor U tem uma coordenada igual a 0. Quando isso acontece, automaticamente, a mesma coordenada do outro vetor paralelo precisa ser 0. Olha só:

U = (0,1,3) e U1 = (a,b,c). Aplicando o critério:

0/a = 1/b = 3/c (viu o problema? não? olha o problema abaixo)

a/0 = b = c/3 (se a for diferente de 0, então teremos um absurdo, pois nenhum número é divisível por 0.)

Pra solucionar isso, consideramos a = 0. Logo, a divisão vai ser indeterminada, mas não inexistente. Então, seguimos com:

1/b = 3/c

c = 3b

Logo temos mais um requisito a ser seguido por (2):

"a = 0" e "c = 3b".

Garantindo que o (3) aconteça:

U2 é ortogonal a U. Então, o ângulo entre eles tem que ser 90°

Bom, o ângulo entre dois vetores é calculado pela seguinte fórmula:

V.W = ||V||.||W||.Cos(Â) ; Â é o ângulo entre os vetores quaiquer V e W.

Com isso em mente, temos:

U2.U = ||U2||.||U||.Cos(90°) = ||U2||.||U||.0 = 0

U2.U = 0 (Requisito pra eles serem ortogonais)

Fazendo o produto escalar entre eles e igualando a 0, temos:

(e,f,g).(0,1,3) = 0

e.0+1.f+3.g = 0

f + 3g = 0

f = -3g (Encontramos o último requisito)

Com todos os requisitos, voltamos ao sistema inicial e fazemos as devidas substituições:

a+e = -1

b+f = -3

c+g = 2

Vira o sistema abaixo, com c = 3b, a = 0, f = -3g:

0+e = -1

b-3g = -3

3b+g = 2

Desse sistema, concluímos que e = -1. Além disso, resolvendo o sistema:

b-3g = -3

3b+g = 2

Temos:

10b = 3

b = 3/10

g = 2-(9/10) = 11/10

Só pra esclarecer, encontramos até agora:

a = 0

b = 3/10

c = 3b = 9/10 (encontramos com b)

e = -1

f = -3g = -33/10 (encontramos com g)

g = 11/10

Pronto, encontramos os benditos vetores que atendem a todos os requisitos da questão:

U1 = (0, 3/10, 9/10)

U2 = (-1. -33/10, 11/10)

Calculando (finalmente) a soma das normas dos vetores:

||U1||+||U2|| = [√(0²+(3/10)²+(9/10)²)] + [√((-1)²+(-33/10)²+(11/10)²)]

||U1||+||U2|| = [√((9/100)+(81/100))] + [√(1+(1089/100)+(121/100))]

||U1||+||U2|| = [√(9/10)] + [√(131/10)]

||U1||+||U2|| = [3/√10)] + [√131/√10)]

||U1||+||U2|| = (3+√131)/√10

||U1||+||U2|| = (3√10+√1310)/10

Esse é o valor mais exato da soma das normas. Uma aproximação é essa:

||U1||+||U2|| ≅ 4,5680

Espero que tenha te ajudado em G.A. É uma disciplina maravilhosa e bem complexa, então não desanime!

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