Question

Decomponha o vetor ⃗v = (−1, −3, 2) como soma de dois vetores ⃗p e ⃗q, de modo que ⃗p seja paralelo e ⃗q seja ortogonal a ⃗u = (0, 1, 3).

Answer 1

Os vetores pedidos são:

p=(0, 9/10, 27/10) q=(-1, -21/10, -7/10)

Operações e Decomposição de Vetores.

Há um vetor v=(-1, -3, 2) que é composto pela soma de dois outros vetores

p=(x, y, z) e q=(a, b, c)

Então:

• p+q=v

(x, y, z)+(a, b, c)=(-1, -3, 2)

Com isto, temos o seguinte sistema:

x+a=-1

y+b=-3

z+c=2

Ainda não é possível resolvê-lo, pois há mais incógnitas que equações. É dito que p é paralelo a u, então:

• p=k*u

(x, y, z)=k*(0, 1, 3)

x=0

y=k

z=3k

Substituindo os valores no sistema:

a=-1

k-3c=3

3k+c=2

É dito que q é ortogonal a u, então:

• p*u=0

(a, b, c)*(0, 1, 3)=0

0+b+3c=0

b=-3c

Substituindo também no sistema:

a=-1

k-3c=3

3k+c=2

Já temos o valor de a, então então o sistema fica:

k-3c=3

3k+c=2

Resolvendo-o e substituindo os valores nos vetores p e q, chegamos em:

p=(0, 9/10, 27/10)

p=(0, 9/10, 27/10)q=(-1, -21/10, -7/10)

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