Question

decomponha a fração dada em frações parciais x4+x3+x2+x+1 dividido por x3+x2+x+1

Answer 1

Vamos lá.

Veja que basta você fazer a divisão do primeiro polinômio pelo segundo e, em seguida, colocar que o primeiro polinômio (dividendo) é igual ao segundo polinômio (divisor) vezes o resultado que encontrarmos (quociente) mais o resto que der.
Então vamos fazer a divisão a que acima nos referimos:

 x⁴ + x³ + x² + x + 1 |_x³+x²+x+1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . .  x  <----- quociente
-x⁴ - x³ - x² - x
--------------------------
0.....0.....0....0 + 1 <---- Resto.

Veja que dividindo-se x⁴+x³+x²+x+1 por x³+x²+x+1 encontramos um quociente igual a "x" e um resto igual a "1".
Assim, teremos que:

Dividendo = divisor*quociente + Resto ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

x⁴ + x³ + x² + x + 1 = (x³+x²+x+1)*x + 1 ---- ou, o que dá no mesmo:
x⁴ + x³ + x² + x + 1 = x*(x³+x²+x+1) + 1 <---- pronto. É isto o que está sendo pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.