Question

Decompondo $\frac{15}{x(x+1)(2x-1)}$ em frações parciais, ou seja,
$\frac{15}{x(x+1)(2x-1)} =\frac{A}{x} +\frac{B}{x+1} +\frac{C}{2x-1}$
determine o valor de C.

Muito Obrigado!

Answer 1

Reescrevendo a equação:

$\frac{15}{x(x+1)(2x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{2x-1}$

Resolvendo:

$\frac{15}{x(x+1)(2x-1)} = \frac{A(x+1)(2x-1)}{x(x+1)(2x-1)} + \frac{B(x)(2x-1)}{x(x+1)(2x-1)} + \frac{C(x)(x+1)}{x(x+1)(2x-1)}$

$15 = A(x+1)(2x-1) + B(x)(2x-1) + C(x)(x+1)$

Para encontrar o valor de A, vamos cancelar o valor de B e C ao mesmo tempo, portanto x = 0.

$15 = A(0+1)(2\cdot0-1) + B(0)(2\cdot0-1) + C(0)(0+1) \\ 15 = A(1)(-1) \\ 15=-A \\ A=-15$

Para encontrar o valor de B, vamos cancelar o valor de A e C ao mesmo tempo, portanto x = -1.

$15 = A(-1+1)(2(-1)-1) + B(-1)(2(-1)-1) + C(-1)(-1+1) \\ 15 = A(0)(-2-1) + B(-1)(-2-1) + C(-1)(0) \\ 15 = B(-1)(-3) \\ 15=3B \\ B=5$

Para encontrar o valor de C, vamos cancelar o valor de A e B ao mesmo tempo, portanto x = 0,5.

$15 = A(0,5+1)(2(0,5)-1) + B(0,5)(2(0,5)-1) + C(0,5)(0,5+1) \\ 15 = A(1,5)(1-1) + B(0,5)(1-1) + C(0,5)(1,5) \\ 15 = A(1,5)(0) + B(0,5)(0) + C(0,75) \\ 15=0,75C \\ C=20$