Question

De uma folha de papelão retangular medindo 50 cm de comprimento e 30 cm de largura são cortados quadrados iguais em cada canto. As abas que sobram são devem ser dobradas para cima de modo a formar uma caixa sem tampa. Qual deve ser a medida x, em cm, dos lados dos quadrados retirados para que o volume da caixa seja máximo?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria espacial e o cálculo de pontos de máximo por derivadas.

De uma folha de papelão retangular, cujas medidas são $50~cm$ de comprimento e $30~cm$ de largura, são cortados quadrados iguais em cada canto. As abas que sobram são dobradas para cima de modo a formar uma caixa sem tampa. Devemos calcular a medida dos lados dos quadrados a serem retirados para que o volume da caixa seja máximo.

Primeiro, considere que quatro quadrados de lados de medida $x$ foram retirados dos cantos da folha retangular. Esta é também a medida da altura desta caixa, como pode ser visto na primeira imagem em anexo.

As abas que sobram terão medidas $50-2x$ e $30-2x$.

Então, a caixa terá formato de paralelepípedo, cujo volume é calculado por meio do produto das suas dimensões.

O polinômio que nos dá o volume desta caixa é: $V(x)=x\cdot (50-2x)\cdot (30-2x)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$V(x)=4x^3-160x^2+1500x$

Para encontrarmos o valor de $x$ no qual a função $V(x)$ assume valor máximo, devemos encontrar o ponto crítico da função: aquele em cuja reta tangente tem inclinação igual a zero e, portanto, sua derivada é igual a zero.

$V'(x)=0\\\\\\ (4x^3-160x^2+1500x)'=0$

Aplique a regra da soma: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$

$(4x^3)'-(160x^2)'+(1500x)'=0$

Aplique a regra da constante: $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$

$4\cdot(x^3)'-160\cdot(x^2)+1500\cdot(x)'=0$

Aplique a regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$, lembrando que $x=x^1$

$4\cdot 3\cdot x^{3-1}-160\cdot2\cdot x^{2-1}+1500\cdot 1\cdot x^{1-1}=0$

Some os valores no expoente e multiplique os termos, lembrando que $x^0=1,~x\neq0$

$12x^2-320x+1500=0$

Para resolvermos esta equação quadrática completa de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, utilizamos a fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\dfrac{-(-320)\pm\sqrt{(-320)^2-4\cdot12\cdot1500}}{2\cdot12}$

Calcule a potência, multiplique e some os termos

$x=\dfrac{320\pm\sqrt{102400-72000}}{24}\\\\\\ x=\dfrac{320\pm\sqrt{30400}}{24}$

Ao decompormos o radicando em fatores primos, obtemos: $30400 = 5^2\cdot 2^6\cdot 19$. Assim, calculamos o radical:

$x=\dfrac{320\pm5\cdot 2^3\cdot\sqrt{19}}{24}$

Calcule a potência e multiplique os termos

$x=\dfrac{320\pm5\cdot8\cdot\sqrt{19}}{24}\\\\\\ x=\dfrac{320\pm40\sqrt{19}}{24}$

Simplifique a fração por um fator $8$

$x=\dfrac{40\pm5\sqrt{19}}{3}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{40-5\sqrt{19}}{3}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{40+5\sqrt{19}}{3}$

Porém, observe que a segunda solução é um número irracional maior que $20$. Uma das dimensões da caixa é $30-2x$ e por se tratar de um sólido geométrico, sua medida deve ser maior que zero.

Para a solução $x=\dfrac{40+5\sqrt{19}}{3}$, esta medida seria negativa e portanto, desclassificamos esta solução.

Com isso, conclui-se que a medida do lado dos quadrados a serem retirados da folha de papelão de modo a formar uma caixa sem tampa, fazendo com que esta tenha volume máximo é $x=\dfrac{40-5\sqrt{19}}{3}~~\checkmark$

$\boxed{\bold{S=\left\{x\in\mathbb{R}~\biggr|~x=\dfrac{40-5\sqrt{19}}{3}\right\}}}$.