Question

Dê uma explicação bem clara sobre limites, noções, definições e regra de L'Hospital.
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Answer 1

Limite é um conceito bem amplo de Cálculo o qual nos retorna o valor de uma função quando x tende para algum valor, digamos um valor a. A diferença de tomar o limite e de obter o valor de f(a) é a que, para tomarmos o limite a pode ou não estar no Domínio da função, desde que f(x) convirja para valores próximos de a.

A Noção por trás do limite é a de proximidade, vou definir limites, não da forma mais formal, mas de uma forma mais intuitiva:

Seja uma função f tal que esteja definida de um Domínio D, que está contido nos Reais, para um contra-domínio, os Reais, denotamos isso como:

$f: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}$

e seja a um valor em x, queremos estudar o comportamento de f quando x se aproxima de a, mas nunca o alcança e quanto mais aproximamos x de a, mais f(x) se aproxima de L, um valor no Contra-Domínio. Dizemos que L é o Limite de f(x) quando x tende a 'a' e escrevemos:

$\:\lim\: f(x) = L\\^{x\rightarrow a}$

Imagine duas retas dos Reais, uma em que colocamos o valor em x, e outra em que retornamos f(x) para qualquer função f e x no domínio, o Limite pode ser entendido como se aproximamos o x a um valor a na reta, na reta de f(x), a saída se aproximará de L.

Vou mostrar alguns exemplos para ficar claro:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$\:\lim\:2x = 6\\^{x\rightarrow 3}$

Para x tendendo a 'a' no domínio, então o limite será:

$\:\lim\: f(x) = f(a)\\^{x\rightarrow a}$

Para 'a' fora do domínio há alguns truques para descobrir, como por exemplo:

$\:\lim\: \frac{x^2-1}{x+1}\\^{x\rightarrow -1}$

Perceba que quando x tende a -1, temos divisão por 0, que não está definida, mas podemos abrir x²-1 = (x+1)(x-1), portanto:

$=\:\lim\: \frac{(x+1)(x-1)}{x+1}\\\:\:^{x\rightarrow -1}$

E podemos cortar (x+1)/(x+1) no limite:

$=\:\lim\: x-1\\\:\:^{x\rightarrow -1}$

Agora x = a está definido, e portanto o limite será:

$\:\lim\: x-1 = -2\\^{x\rightarrow -1}$

$\therefore\lim\: \frac{x^2-1}{x+1} = -2\\\:^{x\rightarrow -1}$

É importante também notar que o limite não precisa existir, aqui vai um exemplo, talvez o mais clássico, em que o limite não existe:

$\:\lim\: \frac{1}{x}\\^{x\rightarrow 0}$

Perceba que, no gráfico de f(x), quando x vem dos número negativos, f(x) tende cada vez mais crescendo negativamente, mas quando x vem dos números positivos, a função cresce indefinitivamente. Portanto, no ponto x = 0, a função não está nem no +∞, nem no -∞, ele não existe.

Por último, vou dar uma noção de como calcular alguns limites por L'Hopital, mas para isso é preciso saber o conceito de Derivada, que é a taxa de variação da função e denotamos sua derivada por

$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

A regra de L'Hopital utiliza da Derivada para utilizar para comparar duas funções tais que o limite delas dá problema:

$\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)}$

Onde

$f(a) = g(a) = 0\:\: ou \:\: f(a)=g(a)=\pm \infty$

Tome a seguinte fração, queremos chegar na mesma função racional:

$\dfrac{f(a+\Delta x)}{g(a+\Delta x)}$

como f(a) e g(a) são iguais a zero, então:

$\dfrac{f(a+\Delta x)}{g(a+\Delta x)} = \dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{g(a+\Delta x)-g(a)}$

Agora, multiplicaremos por Δx/Δx na fração:

$\dfrac{f(a+\Delta x)}{g(a+\Delta x)} = \dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{g(a+\Delta x)-g(a)}\times\dfrac{\Delta x}{\Delta x}$

Rearranjando um pouco teremos:

$\dfrac{f(a+\Delta x)}{g(a+\Delta x)} = \dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} \times \dfrac{\Delta x}{g(a+\Delta x)-g(a)}$

Queremos que Δx se aproxime de 0, portanto podemos tomar o limite:

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(a+\Delta x)}{g(a+\Delta x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} \times \dfrac{\Delta x}{g(a+\Delta x)-g(a)}$

Perceba, que no lado esquerdo, a fração se torna a função racional que queremos tomar o limite, e do direito, se torna a derivada, pela definição, de f e g, portanto:

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(a+\Delta x)}{g(a+\Delta x)} =\dfrac{f(a)}{g(a)}$

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} \times \dfrac{\Delta x}{g(a+\Delta x)-g(a)} = f'(x) \times \dfrac{1}{g'(x)} = \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

E portanto, igualando novamente obteremos:

$\dfrac{f(a)}{g(a)} = \dfrac{f'(a)}{g'(a)}$

ATENÇÃO: Essa igualdade não vale para todo a, somente para a tais que

$f(a) = g(a) = 0\:\: ou \:\: f(a)=g(a)=\pm \infty$

Se a segue essas restrições, então vale que:

$\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

Exemplo:

$\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = \left"\dfrac{0}{0}\right"$

Podemos aplicar L'Hopital:

$\lim_{x\rightarrow -1} \dfrac{x^2-1}{x+1} =\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{2x}{1} = 2*(-1) = -2$