De uma divisão de polinômios, sabe-se que o
quociente é Q(x) = 2x – 1 e que o resto é 3x+5, se o
dividendo for dado por P(x) = 2x³ – 3x² + 8x + 3. Qual
polinômio representa o divisor S(x)?
Soluções para a tarefa
Resposta:
S(x) = x^2 - x + 2
Explicação passo a passo:
Podemos representar o algoritmo da divisão pela forma equacional quociente * divisor + resto = dividendo. Partindo desse raciocínio, temos:
(2x - 1) * S(x) + (3x + 5) = 2x3 - 3x2 + 8x + 3
Utilizando os princípios básicos de resolução de equações:
(2x - 1) * S(X) = 2x3 - 3x2 + 8x - 3x + 3 - 5
S(x) = 2x³ - 3x² + 5x - 2
2x - 1
Vamos agora utilizar o algoritmo da divisão para encontrar o polinômio S(x):
2x³ - 3x² + 5x - 2 | 2x - 1
- 2x³ + x² x² - x + 2
0 - 2x² + 5x
2x² - x
0 + 4x - 2
- 4x + 2
0
Portanto, S(x) = x² – x + 2.
O polinômio que representa o divisor S(x) é x² - x + 2.
Na divisão de polinômios, podemos dizer que o dividendo é igual a soma entre o resto e o produto entre o quociente e o divisor:
P(x) = Q(x)·S(x) + R(x)
Do enunciado, temos todos os polinômios exceto o divisor:
P(x) = 2x³ - 3x² + 8x + 3
Q(x) = 2x - 1
R(x) = 3x + 5
Substituindo na fórmula acima, temos:
2x³ - 3x² + 8x + 3 = (2x - 1)·S(x) + 3x + 5
2x³ - 3x² + 8x + 3 - 3x - 5 = (2x - 1)·S(x)
2x³ - 3x² + 5x - 2 = (2x - 1)·S(x)
Como a divisão entre P(x) e S(x) resultou em um quociente do primeiro grau, sabemos que S(x) é do segundo grau, logo:
S(x) = ax² + bx + c
2x³ - 3x² + 5x - 2 = (2x - 1)·(ax² + bx + c)
2x³ - 3x² + 5x - 2 = 2ax³ + 2bx² + 2xc - ax² - bx - c
2x³ - 3x² + 5x - 2 = 2ax³ + (2b - a)x² + (2c - b)x - c
Comparando as duas equações:
2 = 2a
-3 = 2b - a
5 = 2c - b
-2 = -c
Podemos imediatamente ver que a = 1 e c = 2, logo:
-3 = 2b - 1
-2 = 2b
b = -1
Portanto, S(x) = x² - x + 2.
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