Question

​De uma altura de 20 m do solo, uma pedra é lançada verticalmente para cima a 15 m/s. Em quanto tempo, desde o lançamento para cima, atinge o solo? (trabalhar em SI)

Answer 1

A questão fala que de uma altura de 20m foi lançada uma pedra com velocidade inicial de 15m/s e pergunta o tempo em que essa pedra atinge o solo.

Como a questão não nos fornece nada de tempo, vamos usar a equação de Torricelli e encontrar a variação de espaço dos 20m até a altura máxima que essa pedra atinge, lembrando que a velocidade final (v) é igual a "0" pelo motivo de que quando pedra atinge o ponto máximo ele começa a cair, ou seja, antes de cair ela a velocidade fica nula.

$\sf V^{2} = V{_0}^{2} - 2.g.\Delta_y \\\sf (0) {}^{2} = (15) {}^{2} - 2.10.\Delta_y \\ \sf 0 = 225 - 20\Delta_y \\ \sf - 20\Delta_y = - 225 \\ \sf\Delta_y = \frac{ - 225}{ - 20} \\ \sf \boxed{ \sf\Delta_y = 11,25m}$

Portanto temos que, a partir dos 20m do solo a pedra atinge a altura máxima após 11,25m de altura. Agora vamos somar essas duas alturas para saber de fato a altura total do solo até a altura máxima da pedra:

$\sf H_{m\acute{a}x} = Altura_{(inicial)} + Altura_{(final)}\\ \sf H_{m\acute{a}x} = 20 + 11,25 \\ \boxed{\sf H_{m\acute{a}x} = \sf 31,25m}$

Com esse dado, podemos calcular o tempo de subida da pedra do solo até a altura máxima, para isso vamos usar a equação horária das posições:

$\sf y = y_0 + v_0.t - \frac{1}{2} gt {}^{2} \\ \sf 31,25 = 20 + 15.t - \frac{1}{2} .10.t {}^{2} \\ \sf 31,25 = 20 + 15t - 5t {}^{2} \\ \sf 31,25 - 20 = 15t - 5t {}^{2} \\ \sf 11,25 = 15t -5t {}^{2} \\ \boxed{ \sf - 5t {}^{2} + 15t - 11,25 = 0}$

Vamos resolver essa equação do segundo grau:

$\sf \ast \: coeficientes : \\ \begin{cases} \sf a = - 5 \\ \sf b = 15 \\ \sf c = - 11,25\end{cases} \\ \\ \sf \ast \: bh \acute{a}skara : \\ \sf t = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c} }{2.a} \\ \\ \sf t = \frac{ - 15 \pm \sqrt{(15) {}^{2} - 4. ( - 5).( - 11,25) } }{2.( - 5)} \\ \\ \sf t = \frac{ - 15 \pm \sqrt{225 - 225} }{ - 10} \\ \\ \sf t = \frac{ - 15 \pm \sqrt{0} }{ - 10} \\ \\ \sf t = \frac{ - 15 + 0}{ - 10} \rightarrow \begin{cases} \sf t_1 = t_2\\ \sf t_1 = \frac{ - 15 + 0}{ - 10} \\ \sf t _1 = \frac{ - 15}{ - 10} \\ \sf t_1 = \frac{3}{2} \: \: ou \: \: 1 ,5\end{cases}$

Portanto o tempo de subida dessa pedra é igual a 1,5s, mas já dizia o ditado: "Tudo que sobe, desce", como a pedra possui a mesma trajetória na subida e descida, concorda comigo que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então:

$\sf T_{total} = T_{subida} + T_{descida} \\ </p><p> \sf T_{total} = 1,5+ 1,5 \\ \boxed{\sf T_{total} = 3,0s}</p><p>$

Resposta: O tempo em que a pedra atinge o solo é 3s.

Espero ter ajudado