De um polígono regular ABCDE... sabemos que o ângulo ACB mede 10°. Quantas diagonais desse polígono não passam pelo centro?
-Como se resolve?
A resposta é 126.
Soluções para a tarefa
Resolução:
ACB = 10°
CAB = 10°
ABC = 160° portanto;
OAB = OBA = 160/2 = 80° → OAB = OBA = 80° → AOB = 20°
20 = 360/n → n = 18
* Diagonais que passam pelo centro = 18/2 = 9
* Total de diagonais = n.(n-3)/2 = 18.(18-3)/2 = 135
* Diagonais que não passam pelo centro será
135 - 9 = 126
bons estudos:
Clarissa,
No polígono em questão, não sabemos qual é o número de lados (n) e este é o primeiro passo para a resolução, pois o número de diagonais depende do número de lados.
O triângulo ABC é um triângulo isósceles, pois os lados AB e BC são consecutivos e como o polígono é regular, eles são iguais. Então, se o ângulo ACB mede 10º, o ângulo CAB também mede 10º.
ACB = CAB = 10º
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, podemos obter a medida do ângulo ABC, que é a medida dos n ângulos deste polígono:
ACB + CAB + ABC = 180º
ABC = 180º - ACB - CAB
ABC = 180º - 10º - 10º
ABC = 160º (medida de cada um dos ângulos internos do polígono)
Agora, podemos calcular o número de lados do polígono, pois um ângulo interno (ai) é igual à soma dos ângulos internos (Si) dividido pelo número de lados do polígono (n):
Ai = Si/n [1]
A soma dos ângulos internos é igual a:
Si = (n - 2) × 180º
Substituindo em [1] o valor de Si:
160º = (n - 2) × 180º ÷ n
Multiplicando em cruz:
160n = 180n - 360
160n - 180n = - 360
- 20n = - 360
n = 360 ÷ 20
n = 18 (número de lados do polígono
Agora, podemos calcular o número de diagonais (d) que é dado por:
d = (n(n - 3) ÷ 2
d = 18(18 - 3) ÷ 2
d = 18 × 15 ÷ 2
d = 135 (número de todas as diagonais do polígono)
Como o polígono tem um número par de lados, as diagonais que unem os vértices opostos passam pelo centro e, então, devemos subtrair este número do total de diagonais encontradas acima.
Como são 18 vértices, unindo os opostos 2 a dois, obtemos 9 diagonais que passam pelo centro:
18 ÷ 2 = 9 diagonais que passam pelo centro
Então, resta apenas subtrair do número total de diagonais o número de diagonais que passam pelo centro do polígono:
135 - 9 = 126
R.: O número de diagonais que passam pelo centro é igual a 126