De um losango são conhecidos três vértices, não necessariamente consecutivos: A(1,3), B(-3,5) e C(0,6). Determine as coordenadas do quarto vértice desse losango e represente o esboço desse quadrilátero.
Soluções para a tarefa
A(1,3) e B(-3,5) são dois vértices opostos
o ponto médio de AB é interseção das diagonais
Mx = (Ax + Bx)/2 = (1 - 3)/2 = -1
My = (Ay + By)/2 = (3 + 5)/2 = 4
(Cx + Dx)/2 = Mx
(0 + Dx) = 2*-1
Dx = -2
(Cy + Dy)/2 = My
(6 + Dy) = 2*4 = 8
Dy = 8 - 6 = 2
o ponto D = (-2,2)
A(1,3) , B(-3,5) , C(0,6) , D(-2,2)
verificação
AC² = 1 + 9 = 10
BC² = 9 + 1 = 10
AD² = 9 + 1 = 10
BD² = 1 + 9 = 10
O quarto vértice desse losango é D = (-2,2).
Vamos considerar que o quarto vértice desse losango é o ponto D = (x,y).
Ao marcarmos os pontos A = (1,3), B = (-3,5) e C = (0,6) no plano cartesiano, podemos observar que o losango é igual a ADBC.
O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
Isso significa que as distâncias entre A e D, B e D são iguais.
Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos:
(x - 1)² + (y - 3)² = (x + 3)² + (y - 5)²
x² - 2x + 1 + y² - 6y + 9 = x² + 6x + 9 + y² - 10y + 25
-2x - 6y + 10 = 6x - 10y + 34
8x - 4y = -24
2x - y = -6
y = 2x + 6.
O lado do losango mede:
d² = (1 - 0)² + (3 - 6)²
d² = 1² + (-3)²
d² = 1 + 9
d² = 10
d = √10.
Sendo assim, temos que:
10 = (x - 1)² + (y - 3)²
x² - 2x + 1 + y² - 6y + 9 = 10
x² - 2x + (2x + 6)² - 6(2x + 6) = 0
x² - 2x + 4x² + 24x + 36 - 12x - 36 = 0
5x² + 10x = 0
x² + 2x = 0
x(x + 2) = 0
x = 0 ou x = -2.
Note que se x = 0, obteremos y = 6. Mas, o ponto C é (0,6). Então, o valor de x é -2.
Consequentemente, y = 2. Logo, o ponto D é (-2,2).
Para mais informações sobre losango: https://brainly.com.br/tarefa/4031196
