De um cano, a 4 metros acima do solo, está correndo água (com certa pressão). A trajetória da água que está caindo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal (saída do cano). Sabendo-se que a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal (conforme a figura a seguir), podemos expressar y como função de x em formato de uma lei de formação, onde y representa a altura (vertical) da água em função de x, que representa a distância horizontal que água se encontra do bocal. Determine: a) A lei de formação que representa essa situação; b) A altura vertical da água, quando sua distância horizontal for de 5 metros.
Soluções para a tarefa
A lei de formação que representa essa situação é y = -x²/100 + 4.
Considerando que o vértice está na boca do cano, então podemos designar esse como o ponto (0, 4). Sabemos que quando a distância horizontal é 10 metros, a distância vertical diminuiu em 1 metro, logo, outro ponto seria (10, 3).
Sabendo que toda equação de segundo grau (que representa uma parábola) tem a forma ax² + bx + c, então podemos deduzir os valores de a, b e c com os pontos dados.
O valor de c é o valor de y quando x = 0, logo, c = 4. Como a concavidade é voltada para baixo, o valor de a é negativo. Substituindo o ponto (10, 3), temos:
3 = -a.10² + b.10 + 4
-1 = -100.a + 10.b
Sendo uma parábola, ela é simétrica em relação ao vértice, logo, o ponto (-10, 3) também pertence a essa equação, substituindo este ponto, temos:
3 = -a.(-10)² - 10.b + 4
-1 = -100.a - 10.b
Somando as equações, encontramos:
-2 = -200.a
a = 1/100
Substituindo a, o valor de b fica:
-1 = -100.(1/100) + 10.b
-1 = -1 + 10.b
10.b = 0
b = 0
a) A lei de formação que representa essa situação é y = -x²/100 + 4.
b) Para x = 5, temos:
y = -5²/100 + 4
y = -25/100 + 4
y = -3,75 m