Question

De um baralho comum de 52 cartas, de quantos modos pode‑se formar um conjunto de 5 cartas, sendo apenas duas delas de ouros? a 5148 b 6 084 c 25 857 d 712 842 e 77 571

Answer 1

De um baralho comum, pode-se formar um conjunto de 5 cartas, no qual apenas duas delas sejam de ouros, de 712.842 modos diferentes.

Combinação simples

Esta questão envolve um problema de análise combinatória e que pode ser resolvido através da combinação, pois a ordem das cartas não é importante. Deste modo, utilizaremos a fórmula da combinação simples, que é:

C(n,p) = n!/p!(n-p)!, onde n representa o total de elementos e p representa o número de elementos que estão sendo tomados.

Assim, temos um total de 52 cartas, com as quais queremos formar um conjunto com 5 cartas, das quais apenas duas podem ser de ouros. Perceba que cada naipe possui 13 cartas, então são 13 cartas de ouros possíveis. Logo, o total de maneiras que as cartas de ouros podem ser combinadas é dada por:

C(13,2) = 13!/2!(13-2)!

C(13,2) = (13 × 12 × 11!)/(2! × 11!)

C(13,2) = (13 × 12)/2

C(13,2) = 156/2

C(13,2) = 78

Descobrimos assim que são 78 combinações possíveis de cartas de ouros tomadas duas a duas. Agora vamos calcular o número de maneiras que as outras 3 cartas podem ser combinadas. Como as demais não podem ser de ouros, nos restaram apenas 39 cartas dos outros naipes, que serão combinadas 3 a 3. Logo:

C(39,3) = 39!/3!(39-3)!

C(39,3) = (39 × 38 × 37 × 36!)/(3! × 36!)

C(39,3) = (39 × 38 × 37)/(3 × 2 × 1)

C(39,3) = 54.834/6

C(39,3) = 9.139

Desta maneira, descobrimos que as demais cartas podem ser tomadas três a três de 9.139 formas diferentes. Agora, para sabermos quantas formas podemos formar um conjunto de 5 cartas das quais apenas duas sejam de ouros, basta multiplicar o resultado das combinações obtidas acima. Logo:

C = 78 × 9.139

C = 712.842

Descobrimos assim, que um conjunto de 5 cartas, no qual apenas duas delas é de ouros, pode ser formado de 712.842 formas diferentes.

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