De terminar a equação "r" que forma um ângulo de 45° com a reta (s) 2×+y+4=0 e passa pelo ponto Q (-1 , -2) .
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Equação da reta r
2x + y + 4 = 0
y = -2x - 4
Assim, a reta r tem coeficiente angular igual a -2, portanto o ângulo que essa reta faz com o eixo x é dado pelo arcotangente de -2
arctg(-2) = -63,435°
Podemos soma 45° a esse ângulo e calcular a tangente dessa soma para determinaro o coeficiente angular "a₁" de uma reta que forma 45° com a reta r. Da mesma forma, podemos proceder subtraindo 45° do ângulo acima e calcular a tangente dessa subtração para ter o coeficiente angular "a₂" de uma segunda reta que forma 45° com a reta r.
a₁ = tg(-63,435° + 45°) = tg(-18,435°) = -1/3
a₂ = tg(-63,435° - 45°) = tg(-108,435°) = 3
Portanto as retas serão da forma:
y = a₁x + b₁ e y = a₂x + b₂
y = 3x + b₁ y = -x/3 + b₂
Agora basta determinar os coeficientes lineares das retas (b₁ e b₂) para completar as equações. Para isso, usaremos o fato de que o ponto Q pertence às retas, logo as coordenadas (-1, -2) são solução das equações.
y = 3x + b₁
-2 = 3*(-1) + b₁
-2 = -3 + b₁
-2 + 3 = b₁
b1 = 1
e
y = -x/3 + b₂
-2 = -(-1)/3 + b₂
-2 - 1/3 = b₂
-6/3 - 1/3 = b₂
b₂ = -7/3
Logo as equações reduzidas das retas que passam pela origem e formam 45° com a reta r serão:
y = 3x + 1 e y = -x/3 - 7/3
2x + y + 4 = 0
y = -2x - 4
Assim, a reta r tem coeficiente angular igual a -2, portanto o ângulo que essa reta faz com o eixo x é dado pelo arcotangente de -2
arctg(-2) = -63,435°
Podemos soma 45° a esse ângulo e calcular a tangente dessa soma para determinaro o coeficiente angular "a₁" de uma reta que forma 45° com a reta r. Da mesma forma, podemos proceder subtraindo 45° do ângulo acima e calcular a tangente dessa subtração para ter o coeficiente angular "a₂" de uma segunda reta que forma 45° com a reta r.
a₁ = tg(-63,435° + 45°) = tg(-18,435°) = -1/3
a₂ = tg(-63,435° - 45°) = tg(-108,435°) = 3
Portanto as retas serão da forma:
y = a₁x + b₁ e y = a₂x + b₂
y = 3x + b₁ y = -x/3 + b₂
Agora basta determinar os coeficientes lineares das retas (b₁ e b₂) para completar as equações. Para isso, usaremos o fato de que o ponto Q pertence às retas, logo as coordenadas (-1, -2) são solução das equações.
y = 3x + b₁
-2 = 3*(-1) + b₁
-2 = -3 + b₁
-2 + 3 = b₁
b1 = 1
e
y = -x/3 + b₂
-2 = -(-1)/3 + b₂
-2 - 1/3 = b₂
-6/3 - 1/3 = b₂
b₂ = -7/3
Logo as equações reduzidas das retas que passam pela origem e formam 45° com a reta r serão:
y = 3x + 1 e y = -x/3 - 7/3
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