De quantos modos um tabuleiro 8 X 8, de 64 casas, pode ser preenchido,
se dispomos de 4 tipos peças para colocar em cada casa, quando colocamos no
máximo uma pedra em cada casa, e
(i) nenhuma casa fica vazia.
(ii) há um número qualquer de casas vazias.
Soluções para a tarefa
Se colocares o 1º rei num dos 4 cantos do tabuleiro,o 2º rei tem 4 casas onde não pode ser colocado,a do canto onde já está o 1º rei e as 3 adjacentes.Então,como o tabuleiro tem 64 casas,o 2º rei pode ser colocado em 64-4=60 casas.
1º rei R1→ 4 hipóteses
2º rei R2→ 60 hip.
Total 4x60=240 hip.
Se colocares o 1º rei numa das faixas laterais do tabuleiro,que não seja um canto (6x4=24 hip.), o 2º rei tem 6 casas onde não pode ser colocado,a casa da faixa lateral onde já está o 1º rei mais as 5 adjacentes.Então o 2º rei tem 64-6=58 casas possíveis.
R1→ 24 hipóteses
R2→ 58 hip.
Total 24x58=1392 hip.
Finalmente,se colocares o 1º rei numa das casas ''centrais'' do tabuleiro(que formam um quadrado 6x6,ou seja,36 hip.),o 2º rei não poderá ocupar 9 casas(aquela em que já está o 1º rei,mais as 8 adjacentes).Então o 2º rei tem 64-9=55 casas possíveis.
R1→ 36 hipóteses
R2→ 55 hip.
Total 36x55=1980 hip.
A resposta será portanto 240+1392+1980=3612 ..... voilá :)))
Claro que se os reis forem indistinguíveis podes trocar um com o outro que ninguém notará a diferença,ou seja,divides o resultado por 2
3612/2=1806