Question

De quantos modos é possível comprar 10 picoles em uma sorveteria que oferece 3 sabores, sendo que pelo menos 2 de cada um dos sabores ofertados devem ser comprados ?

Answer 1

Olá :)

Esse é um exercício de análise combinatória.

Com a condição do enunciado, que pelo menos 2 de cada um dos sabores ofertados devem ser comprados, podemos ter as seguintes opções:

1) Podemos comprar 3 sabores distintos:

Para isso vamos fazer a combinação de 6 para 3. Nesse caso, não podemos usar arranjo, pois a ordem não importa. tanto faz comprar morango cereja e abacaxi e abacaxi cereja e morango, é a mesma coisa.

Cn,p = n! / p! (n-p)! sendo n todas as quantidades e p o número de quantidades que devem estar no grupo

C = 6! / 3! (6-3)!

C = 6.5.4/3! = 20

2) Podemos comprar 2 iguais e 1 distinto:

_ _ _ são 3 lacunas sendo que cada uma deve ter 1 sabor. Poremos colocar 6 sabores igual na primeira lacuna, um sabor distinto na outra e na ultima apenas restam 5 opções para se colocar.

6 *1 * 5 = 30

3) Podemos comprar 3 sabores iguais

Nesse caso, como são 6 opções, temos 6 possibilidades de comprar 6 sabores iguais.

SOMANDO: 20+30+6=56 MODOS DE COMPRAR SORVETE

Answer 2

Observe que temos que comprar 10 picoles, entretanto temos que comprar dois picoles de cada um dos sabores.

Vamos dizer que temos os sabores: Baunilha, Morango e Chocolate.

Então temos que comprar obrigatoriamente, 2 de Baunilha, 2 de Morango e 2 de Chocolate. Com isso já compramos 6 picoles, e como a questão quer que a gente compre 10 picoles no total ainda temos que comprar 4 picoles.

Veja que temos que comprar 4 picoles e temos 3 sabores para escolher, uma das opções válidas é comprar todos os 4 picoles de chocolate ou 2 de baunilha e 2 de morango.

Como visto no parágrafo acima, vemos que não se trata basicamente de uma combinação simples, mas certamente de trata de uma combinação com repetição.

Fórmula da Combinação com Repetição:

Cr n, p = (n+p-1)! / n!(p-1)!

Aplicando na questão temos que n = 4 picoles e p = 3 sabores.

Logo: Cr 4, 3 = (4+3-1)! / 4!(3-1)! = 6! / 4! 2! = 15 maneiras possíveis.