Question

De quantos modos diferentes podem 3 pessoas sentar-se em um banco de 7 lugares ?

Answer 1

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Vamos usar as letras  A,  B  e  C  para representar cada pessoa, e a letra  X  para representar um lugar vazio.

Uma configuração possível para os lugares serem ocupados seria a seguinte:

       A      B      C     X      X      X      X  
     ——  ——  ——  ——  ——  ——  ——


Note que a quantidade procurada será o total de anagramas que possui a palavra  ABCXXXX.

Esta palavra tem  7  letras, sendo  4  delas repetidas.  Logo, o total procurado é o cálculo da permutação de  7  elementos, com repetição de  4:

     $\mathsf{P_7^4=\dfrac{7!}{4!}}\\\\\\ \mathsf{P_7^4=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5 \cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}{\diagup\!\!\!\!\! 4!}}$

     $\mathsf{P_7^4=210~maneiras}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)