Question

de quantas maneiras uma familia d7 pessoas podem posar para uma foto sempre uma ao lado da outra e sem que uma pessoa ocupe o mesmo lugar?

Answer 1

são 7 lugares na foto para as 7 pessoas, representando os lugares temos;
__x__x__x__x__x__x__
 1   2    3    4    5    6    7

Para o lugar 1 temos 7 possibilidades pois pode ser ocupado por qualquer uma das 7 pessoas.
Para o lugar 2 temos 6 possibilidades pois 1 pessoa já ocupa o lugar 1.
Para o lugar 3 temos 5 possibilidades pois 2 ocupam os lugares 1 e 2.
Para o lugar 4 temos 4 possibilidades pois 3 ocupam os lugares 1,2 e 3.
Para o lugar 5 temos 3 possibilidades pois 4 ocupam os lugares anteriores.
Para o lugar 6 temos 2 possibilidades pois 5 ocupam os lugares anteriores.
Para o lugar 7 temos 1 possibilidade pois 6 ocupam os lugares anteriores.

Substituindo os __  pelas possibilidades :

7x6x5x4x3x2x1 = 5040 maneiras distintas dessa família posar para uma foto.