Question

De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro de 11 jogadores, escolhidos entre 22, dos quais três são goleiros e só o goleiro tem posição fixa?

Answer 1

(goleiro) (J1).(J2).(J3).(J4).(J5).(J6).(J7).(J8).(J9).(J10)

Tem 11 posições.
_._._._._._._._._._._

Na primeira posição pode-se escolher 3 goleiros destes 22 jogadores.

3._._._._._._._._._._

Agora só restam jogadores de linha. E só só tem 19, pois não podem ser goleiros.
Na primeiro posição de linha tem 19 jogadores pra escolher;
Na segunda, 18, pois uma já está na primeira;
Na terceira, 17 jogadores para escolher, já que dois estão nas outras duas;
Na quarta posição, 16 jogadores, pois já há jogadores nas 3 primeira posições de linha;
E assim sucessivamente, até ocupar todas as 10 posições de linha.
Daí temos

3.19.18.17.16.15.14.13.12.11.10

Porém, se você trocar o 2° jogador de linha com o 5°, o time continua o mesmo, assim como qualquer outra troca. Então, no caso, a posição dos jogadores para a formação não faz diferença. Por isso, temos de dividir tudo pelo fatorial de repetições.

3.(19.18.17.16.15.14.13.12.11.10)/(10!)

3.(19.18.17.16.15.14.13.12.11.10)/(10.9.8.7.6.5.4.3.2.1)

= 277134 maneiras de montar o time.



Abraços õ/