Question

De quantas maneiras posso comprar cadernos de R$ 10,00 e de R$14,00 gastando R$100,00 ?

Answer 1

Bom dia Spawwm 

10x + 14y = 100 

5x + 7y = 50

7y = 50 - 5x

y = (50 - 5x)/7 

x e y são dos numeros inteiros

os valores de x e y são 
 
x = 3 + 7k
y = 5 - 5k

5 - 5k > 0

k < 1, k = 0

x = 7k + 3 = 7*0 + 3 = 3
y = 5 - 5*0 = 5 

portanto temos uma unica solução 

3 cadernos de 10 R$ e 5 cadernos de 14 R$



 

Answer 2

TEOREMA

A equação diofantina $ax+by=c$ ($a,\,b,\,c$ inteiros) possui solução se e somente se $\mathtt{mdc}(a,b)\,|\,c$. Se isso ocorre:

Escrevemos $d=ar+bs$ (encontramos $r$ e $s$, e temos como solução particular:

$x_{0}=r\cdot\dfrac{b}{d}~~~~~,~~~~~y_{0}=s\cdot\dfrac{b}{d}$

e toda outra solução é da forma

$x=x_{0}+\dfrac{b}{d}\,t~~~~~,~~~~~y=y_{0}-\dfrac{a}{d}\,t$
________________________________

Seja $x$ e $y$ as quantidades (não-negativas) de cadernos de R$10 e R$14, respectivamente. Procuramos resolver a equação diofantina

$10x+14y=100~~\Leftrightarrow~~5x+7y=50$

Essa equação possui solução se e somente se $\mathtt{mdc}(5,7)\,|\,50$

Mas $\mathtt{mdc}(5,7)=1$, que divide 50. Portanto, a equação admite soluções e vamos encontrá-las

Vamos encontrar $r$ e $s$ inteiros, cuja existência é garantida pelo Teorema de Bézout, tais que

$5r+7s=1$

Claramente $r=3$ e $s=-2$ são inteiros possíveis

Uma solução particular é da forma

$x_{0}=r\cdot\dfrac{50}{\mathtt{mdc}(5,7)}=3\cdot50=150\\\\\\y_{0}=s\cdot\dfrac{50}{\mathtt{mdc}(5,7)}=(-2)\cdot50=-100$

pois $10x_{0}+14y_{0}=100~~\Leftrightarrow~~5x_{0}+7y_{0}=50$

As outras soluções serão da forma

$x=x_{0}+\dfrac{7}{1}\,t=150+7t\\\\\\y=y_{0}-\dfrac{5}{1}\,t=-150-5t$

Queremos que essas soluções sejam inteiros não-negativos, pois se tratam de quantidades (de cadernos). Portanto, devemos ter

$x=150+7t\ge0~~\Leftrightarrow~~t\ge-\dfrac{150}{7}~\textgreater~-\dfrac{154}{7}=-22\\\\\\y=-100-5t\ge0~~\Leftrightarrow~~t\le-\dfrac{100}{5}=-20$

Logo,

$-22~\textless~t\le-20$

Daí, tiramos que $t\in\{-20,-21\}$

Portanto, as soluções do problema são

$\begin{cases}x_{1}=150+7\cdot(-20)=10\\y_{1}=-100-5\cdot(-20)=0\end{cases}\\\\\\\begin{cases}x_{2}=150+7\cdot(-21)=3\\y_{2}=-100-5\cdot(-21)=5\end{cases}$

Ou seja: podemos comprar dez cadernos de R$10 e nenhum caderno de R$14, ou três cadernos de R$10 e cinco cadernos de R$14